Equilíbrio em duas Dimensões

Fala aí, pessoal!! Vamos entender primeiro o que está acontecendo nessa situação aqui. O suporte deslizante descrito no problema é o próprio conjunto , que desliza no ponto através de um rolete.

Como as barras e são “razoavelmente longas” podemos aproximar as reações em e para forças verticais, como sugerido no enunciado.

Sabendo disso podemos fazer o sistema de forças, que é dado abaixo:

Temos que satisfazer a duas condições:

E:

Para o caso dos momentos, vamos escolher o ponto , assim não precisamos trabalhar com de cara, pois esta força não tem braço de alavanca com relação ao ponto .

Perceba que a distância da força de até vale e a distância da força vale

Adotando o sentido anti-horário como positivo, vamos ter que

Show de bola!

Agora, para achar vamos calcular momentos de novo?

Não!!! Vamos fazer uma coisa mais simples usando a outra condição:

Substituindo o valor de :

O sistema acima pode ser desenhado assim:

Onde, é a força peso, é a força normal na roda da frente e é a força normal na roda de trás.

Mas por que colocamos e Porque o carro tem quatro rodas e cada roda tem a sua força normal. Então, admitimos que o carro é simétrico e que a outra metade dele vai ter a mesma configuração de forças.

O carro possui , então o módulo da força peso será:

Agora vamos fazer o equilíbrio dessas forças:

Precisamos de outra equação para resolver o problema. Vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto indicado na figura abaixo:

O equilíbrio de momentos em relação ao ponto nos dá:

Voltando para a equação do equilíbrio das forças, podemos substituir o valor de que achamos:

Nesse caso, temos que satisfazer a duas condições:

Perceba que a soma das forças horizontais tem que ser nula, já que a viga está presa:

E as forças têm a seguinte orientação:

Certo? Não, faltou o peso da própria barra:

Vamos primeiro fazer o somatório de momentos usando o ponto como referência e considerando o sentido anti-horário como positivo:

Sendo que os pesos são:

Substituindo isso na nossa equação, vamos ter que:

Agora vamos para a segunda condição:

Aqui vamos ter que atender a três condições:

A forças de reação em e tem uma forma dada por:

Perceba que a componente da reação em é nula. Isso se deve ao fato de que o apoio em é um apoio deslizante, ou seja, não há o impedimento desse apoio de se mover na horizontal. E não se esqueça: só colocamos reação de apoio na direção onde há impedimento do movimento.

Sendo assim, já descobrimos quanto vale

Agora vamos fazer o seguinte: calcular o equilíbrio de momentos em relação ao ponto

Vamos considerar o sentido anti-horário como o positivo:

Não pode esquecer de contabilizar o momento de que já tinha na estrutura.

Então, obtemos o seguinte:

Agora, usando o somatório de forças verticais:

Sendo assim, o módulo de será:

O diagrama de corpo livre pode ser representado por:

Vamos calcular as forças peso que estão no diagrama:

E vetorialmente, temos que a força peso do sinal aponta para baixo, então:

A força peso da barra é:

E o vetor é:

E por último o peso da barra :

Transformando em vetor temos:

Agora vamos achar as reações de apoio. Perceba que o apoio é um engaste, pois a estrutura não pode se movimentar em nenhuma direção e nem girar. Inclusive foi dito no enunciado que a base é aparafusada.

Vamos começar usando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto e considerando o sentido de giro anti-horário como positivo, temos:

Repare que a força não tem braço de alavanca com relação ao ponto . Então, vamos substituir os valores:

Esse momento é positivo, ou seja, ele gira no sentido horário.

Perceba que não há forças horizontais além da reação de apoio , então:

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

Se você reparar bem vai ver que esse é o caso em que as forças são concorrentes em um ponto só, ou seja, a linha de ação das forças passa por um dos ponto do desenho?

Você consegue identificar este ponto? É o ponto , dê uma olhadinha aqui:

Esse é o nosso diagrama de corpo livre.

Perceba que, por se tratar de uma corda, a força pode ser representada ao longo de toda esta corda. Então, o que fizemos aqui foi transmitir a força e representá-la na direção .

Vamos usar um pouquinho de geometria agora: Perceba que esse é um triângulo que possui dois lados iguais. Assim, ele terá também dois ângulos iguais.

Perceba também que um dos três ângulos do triângulo vale . Sabendo que a soma dos ângulos dá , podemos escrever assim:

Assim:

Então, colocando esses ângulos no nosso diagrama de corpo livre, temos isso aqui:

Agora, temos que decompor todas as forças nos eixos e para podermos fazer as somas dos vetores. Mas repare que temos que descobrir mais alguns ângulos para poder decompor esses vetores:

Repare que somando os ângulos e com obtemos :

Mas... Como vamos resolver essa equação se ela tem duas incógnitas? Temos que achar mais um ângulo antes. Para isso, vamos usar este triângulo aqui:

Vamos isolar esse triângulo que queremos para entendermos melhor o que precisamos fazer:

A soma de todos os ângulos internos de um triângulo deve dar , então:

Agora já conseguimos achar o ângulo :

Repare que os eixos e são perpendiculares entre si, então:

Beleza?

Agora vamos resgatar aquela equação que não conseguimos resolver:

Pronto! Achamos todos os ângulos que eram necessários:

Então, vamos calcular o valor do módulo da força que é nada mais nada menos que o peso do motor:

Escrevendo esta força como um vetor, temos:

Agora vamos decompor a força e a força nos eixos e :

E a força fica assim:

Vamos fazer agora o equilíbrio destas forças. Sabemos que a soma de todas as forças horizontais deve ser zero, então:

Vamos isolar a força para substituir na próxima equação:

Beleza?

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

Vamos substituir pela equação que achamos ali em cima:

Substituindo todos os valores de senos e cossenos, vamos ter que:

O diagrama de corpo livre pode ser representado por:

Perceba que o apoio é um engaste, então tem reações horizontal, vertical e o momento.

A força é o peso da barra horizontal e é o peso do trecho correspondente a barra inclinada.

Vamos calcular as forças peso das barras. Como a viga é uniforme e possui por metro de comprimento, a massa da barra horizontal é:

Então, o módulo de é:

Como todas as forças estão em , vamos passar o peso para esta unidade também:

Já a massa da barra inclinada é:

Então, o módulo de é:

Passando para a unidade de , temos que:

Beleza?

Vamos começar usando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto :

Mas antes vamos decompor aquela força inclinada de :

Como o ângulo de inclinação da força é de com relação à vertical, temos que:

Agora vamos usar o triângulo para achar as distâncias com relação ao ponto . Pelo desenho, temos que:

Se um dos ângulos internos de um triângulo retângulo é de , então o outro é :

Portanto, o comprimento será:

Este valor será o braço de alavanca da componente horizontal da força de com relação ao ponto :

E o comprimento será:

Então, o braço de alavanca da componente vertical da força de com relação ao ponto é de:

Agora sim podemos calcular o somatório de momento:

Repare que o braço de alavanca do peso da barra inclinada é igual a metade da altura do triângulo:

Então, a reação momento será de:

Como o momento deu positivo, indica que arbitramos um sentido correto para a reação de apoio, ou seja, o momento é no sentido anti-horário.

Agora vamos fazer o somatório de forças horizontais:

Repare que o sinal deu negativo, ou seja, arbitramos o sentido contrário para a reação . Dessa forma, esta força aponta para a esquerda (sentido contrário ao que desenhamos antes):

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

O diagrama de corpo livre pode ser representado por:

O módulo da força peso da barra vale:

Agora vamos decompor esta força no eixo :

Agora vamos usar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto e considerando o sentido de giro anti-horário como positivo, temos:

Usando o equilíbrio de forças horizontais:

E o vertical:

Então, a resultante de forças no ponto é:

Vamos olhar para o sistema de roldanas da esquerda:

Cada roldana divide a tensão em . Assim, a segunda roldana vai gerar uma segunda divisão:

Assim, as forças do sistema vão ser assim:

Assim, o equilíbrio de forças nos dá:

Bom, a primeira coisa que precisamos fazer é determinar quais são as forças que atuam no cilindro. São essas:

A força , que empurra o cilindro. A normal , devido ao contato do cilindro com o chão. E a reação , devido ao contato do cilindro com o degrau.

Beleza, mas nós queremos a força necessária para o cilindro subir. Isso quer dizer, em outras palavras, que a normal com o chão é nula: na iminência do giro, o cilindro perde o contato com o chão:

Bom, essa informação não vai ser tão relevante para achar o valor de , pelo menos não através do caminho que usaremos. Mas fica aí a informação teórica sobre isso.

Observação: estamos, é claro, procurando o valor do módulo de .

Bom, preste atenção no triângulo abaixo. Ele é formado pelas distâncias dadas na questão:

Vamos tirar este triângulo de dentro do outro desenho para facilitar a nossa visualização:

Vamos calcular o cosseno do ângulo que aparece no triângulo. Você entenderá nos próximos passos, quando formos decompor a força peso no cálculo do momento:

E, usando:

Sabemos que:

Então, vamos substituir isso na outra equação:

Desenvolvendo, chegamos a:

Agora vem o pulo do gato: vamos usar o equilíbrio de momentos para calcular o valor de

Na iminência de girar, o momento causado pela força compensa os momentos das outras forças.

Tomando o ponto de contato do cilindro com o degrau como referência, teremos as seguintes forças exercendo o momento: o peso e a força

Assim:

Sacou?

Bom, e quanto vale

Agora sim vamos usar o nosso triângulo:

Sacou? é dado por:

E quanto vale

Assim:

Assim, voltando ao cálculo dos momentos:

Pronto!

O diagrama de corpo livre dessa estrutura fica assim:

Perceba que o apoio impede o movimento somente na horizontal, por isso tem uma reação de apoio. Já o apoio em impede o movimento tanto na horizontal quanto na vertical.

Para achar as reações, temos que começar fazendo o somatório de momentos com relação a um ponto. Mas qual ponto vamos escolher?

Vamos escolher o ponto .

Vamos achar a distância da reação até o ponto :

Então:

Agora vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto considerando o sentido anti-horário como positivo:

Agora vamos fazer o somatório de forças horizontais:

Para finalizar vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

O diagrama de corpo livre fica assim:

Repare que pelo ponto passa a linha de ação da força trativa , então essa força não exerce momento neste ponto.

Então, vamos começar calculando o momento com relação ao ponto para podermos achar o valor de :

Mas antes vamos achar as distâncias das forças até o ponto .

Vamos começar achando a distância da força com relação ao ponto . Mas repare que a força está inclinada... Então, temos que achar a distância de cada uma de suas componentes com relação ao ponto .

Temos que a distância é:

E para a componente , temos: