Equilíbrio em duas Dimensões

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Teoria

Introdução

Agora vamos falar sobre algo chamado Equilíbrio... Mas para que serve isso?

Imagine uma tábua de peso desprezível que pode girar com relação a um pino posicionado na metade do seu comprimento. Aí você resolve colocar um bloco de 10   k g em uma das extremidades dessa tábua. O que irá acontecer com ela?

Ela vai cair para o lado mais pesado, certo? Isso acontece porque na sua outra extremidade não tem nada para compensar o peso do bloquinho que colocamos.

Agora você quer que está tábua fique em equilíbrio... O que é preciso fazer? Colocar um bloco de mesmo peso na outra extremidade, certo?

Mas e seu eu mudar o apoio de lugar:

Qual é a nova massa que o bloquinho rosa deve ter para que a tábua não gire em torno do pino?

Calma! É isso que vamos aprender neste tópico, partiu?

O Diagrama de Corpo Livre

O primeiro passo para resolver qualquer questão de equilíbrio é fazer o diagrama de corpo livre, também conhecido por DCL. Mas como faço esta coisa? É só você olhar para o seu problema e isolar o corpo principal, aquele que está sofrendo a ação de várias forças. O diagrama deve mostrar todas as forças que atuam no corpo.

Vamos montar o diagrama de corpo livre da nossa tábua lá de cima. Primeiro temos que identificar qual é o corpo principal: neste nosso caso é a própria tábua, ela que está sofrendo a ação das forças peso dos bloquinhos:

Repare que os bloquinhos foram retirados e no seu lugar foi colocada a força que cada um deles faz na tábua, essas forças são o próprio peso dos bloquinhos.

Mas eu não disse que tem que representar apenas o corpo principal do problema e retirar todos os outros? E o que esse apoio está fazendo ali? Calma, temos que retirar ele também e colocar no lugar a força que o apoio faz na tábua:

Repare que cada elemento que você retirar do problema você tem que substituir por uma força. Mas em que posição do corpo eu coloco a força?

O centro de massa ( C ou C M ) é o ponto de um corpo que, para fins de cálculo, pode ser considerado como aquele que contêm toda a massa do corpo, por isso, podemos representar as forças no centro de massa das figuras.

Observação: você pode encontrar por aí a definição centro de gravidade. Geralmente em cursos de Mecânica Básica, como aqui, os dois pontos são o mesmos: C G = C M .

Percebam que as forças peso atuam co centro de gravidade dos nossos bloquinhos.

Então, podemos entender o diagrama de corpo livre como uma maneira de limpar o nosso desenho e enxergarmos o que está acontecendo no corpo principal.

Tipos de Apoios e suas Reações

O apoio é o que sustenta a estrutura e a impede de se movimentar em certas direções. Toda vez que você impede uma estrutura de se movimentar em uma direção surge o que chamamos de reação de apoio. Existem vários tipos de apoios e para cada um vai surgir alguma reação de acordo com a direção em há o impedimento de movimento. Vamos ver os principais:

  • Apoio Deslizante: permite que a estrutura se mova na direção em que o carrinho rola, mas impede o movimento na outra direção:
  • Essas são as formas possíveis que esse apoio pode aparecer para você, todas essas imagens representam a mesma coisa!!!

    Além disso, repare que no nosso exemplo temos esse mesmo tipo de apoio!

    Repare que esse apoio permite o movimento na horizontal, mas impede o movimento na vertical. Então, a reação de apoio vai estar na direção em que há impedimento do movimento. Dessa forma, para montar o diagrama de corpo livre é só retirar o apoio e colocar a reação vertical:

    E se o apoio estiver assim na vertical?

    Neste caso, o apoio permite que a barra se mova na vertical, mas impede que ela se mova na horizontal. Então, o diagrama de corpo livre fica assim:

    Fica ligado nisso aí!!!

  • Pinos: esses apoios impedem que a estrutura se mova tanto na vertical quanto na horizontal, mas permitem que ela gire em torno dele:
  • Como esses apoios impedem o movimento nas duas direções, o diagrama de corpo livre fica:

  • Apoio fixo ou engaste: este apoio impede o movimento nas direções horizontal e na vertical e também impede que a barra gire em torno dele:

As reações de apoios surgem devido ao impedimento do movimento, então o diagrama de corpo livre fica:

Esse momento M → surge devido ao apoio impedir que a estrutura gire.

Condições de Equilíbrio

Uma estrutura está em equilíbrio estático quando a resultante de todas as forças horizontais, verticais e dos momentos são nulas:

∑ F → x = 0 →

∑ F → y = 0 →

∑ M → = 0 →

Isso acontece porque não podemos ter nenhuma aceleração que promova movimentos de translação ou rotação.

Aqui repare que podemos utilizar a equação do momento para resolver o problema proposto lá do início. Vamos fazer isso aplicando o somatório dos momentos em relação a um certo ponto:

Lembre-se que

P = m g

Então temos P 1 = 10 g e queremos achar P 2 . Logo, faz sentido colocar o ponto de aplicação do momento exatamente no ponto de apoio:

Por que isso faz sentido? Porque a força R não irá gerar momento com relação a esse ponto, o que é bom já que não sabemos o valor de R . Dessa forma vamos ter:

∑ M a p o i o = 0

Vamos considerar o sentido anti-horário positivo:

P 1 × 1 - P 2 × 3 = 0

Substituindo os valores de P 1 e P 2 :

10 g × 1 - m g × 3 = 0

m = 10 g 3 g = 3,33   k g

Resolvemos o nosso problema!

Vamos fazer uns exercícios para treinar e pegar o jeito!!!

O Diagrama de Corpo Livre

Tipos de Apoios e suas Reações

Condições de Equilíbrio

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O suporte deslizante é usado para apoiar partes de chapas longas enquanto elas são cortadas por uma série de bancadas. Se a chapa exerce uma força direcionada para baixo de 25   N no rolete C , determine as ações verticais em A   e   D . Note que a conexão em B é rígida e que os pés A   e   D são tubos horizontais razoavelmente longos, com recobrimentos deslizantes.

Passo 1

Fala aí, pessoal!! Vamos entender primeiro o que está acontecendo nessa situação aqui. O suporte deslizante descrito no problema é o próprio conjunto A B C D , que desliza no ponto C através de um rolete.

Como as barras A B e B D são “razoavelmente longas” podemos aproximar as reações em A e D para forças verticais, como sugerido no enunciado.

Sabendo disso podemos fazer o sistema de forças, que é dado abaixo:

Passo 2

Temos que satisfazer a duas condições:

∑ M → = 0  

E:

  ∑ F → = 0

Para o caso dos momentos, vamos escolher o ponto A , assim não precisamos trabalhar com R → A de cara, pois esta força não tem braço de alavanca com relação ao ponto A .

Perceba que a distância da força de 25   N até A vale 235   m m e a distância da força R → D vale 355   m m .

Adotando o sentido anti-horário como positivo, vamos ter que :

R D . 355 - 25 . 235 = 0         →       R D = 16,55   N

Passo 3

Show de bola!

Agora, para achar R → A vamos calcular momentos de novo?

Não!!! Vamos fazer uma coisa mais simples usando a outra condição:

∑ F y → = 0

R A + R D - 25 = 0

Substituindo o valor de R D :

R A + 16,55 - 25 = 0

R A = 8,45   N

Resposta

R A = 8,45   N

R D = 16,55   N

Exercício Resolvido #2

O centro de massa G do carro de motor traseiro e com 1400   k g está localizado como mostrado na figura. Determine a força normal sob cada pneu quando o carro está em equilíbrio. Descreva qualquer hipótese feita.

Passo 1

O sistema acima pode ser desenhado assim:

Onde, P → é a força peso, N → f é a força normal na roda da frente e N → t é a força normal na roda de trás.

Mas por que colocamos 2 N f e   2 N t ? Porque o carro tem quatro rodas e cada roda tem a sua força normal. Então, admitimos que o carro é simétrico e que a outra metade dele vai ter a mesma configuração de forças.

Passo 2

O carro possui 1400   k g , então o módulo da força peso será:

P = 1400 9,81     →           P = 13734   N

Agora vamos fazer o equilíbrio dessas forças:

∑ F → y = 0       →       2 N f + 2 N t - 13734 = 0

2 N f + 2 N t = 13734

Precisamos de outra equação para resolver o problema. Vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A indicado na figura abaixo:

O equilíbrio de momentos em relação ao ponto F nos dá:

∑ M → A = 0

- 13734 1,386 + 2 N t 1,386 + 0,964 = 0

N t = 4050   N

Voltando para a equação do equilíbrio das forças, podemos substituir o valor de N t que achamos:

2 N f + 2 4050 - 1400 9,8 = 0

N f = 2820   N

Resposta

N t = 4050   N

N f = 2820   N

Exercício Resolvido #3

A viga em I uniforme e com 450   k g sustenta a carga mostrada. Determine as reações nos apoios.

Passo 1

Nesse caso, temos que satisfazer a duas condições:

∑ M → = 0 →

∑ F → y = 0 →

Perceba que a soma das forças horizontais tem que ser nula, já que a viga está presa:

∑ F → x = 0 →

E as forças têm a seguinte orientação:

Certo? Não, faltou o peso da própria barra:

Passo 2

Vamos primeiro fazer o somatório de momentos usando o ponto A como referência e considerando o sentido anti-horário como positivo:

- P B 4 - P 5,6 + R B 5,6 + 2,4 = 0

Sendo que os pesos são:

P B = m g = 450 ( 9,8 1 ) = 4415   N

P = m g = 220 ( 9,8 1 ) = 2158   N

Substituindo isso na nossa equação, vamos ter que:

- 4414,5 4 - 2158,2 5,6 + R B 8 = 0

R B = 4415 4 + 2158   5,6 8

R B = 3718   N

Passo 3

Agora vamos para a segunda condição:

∑ F → y = 0 →         →       R A + R B - P B - P = 0

R A + 3718 - 4415 - 2158 = 0

R A = 2855   N

Resposta

R A = 2855   N

R B = 3718   N

Exercício Resolvido #4

Calcule o módulo da força suportada pelo pino em B no dispositivo em curva, carregado e apoiado como mostrado.

Passo 1

Aqui vamos ter que atender a três condições:

∑ F → x = 0 →

∑ F → y = 0 →

∑ M → = 0 →

Passo 2

A forças de reação em A e B tem uma forma dada por:

Perceba que a componente A → x da reação em A é nula. Isso se deve ao fato de que o apoio em A é um apoio deslizante, ou seja, não há o impedimento desse apoio de se mover na horizontal. E não se esqueça: só colocamos reação de apoio na direção onde há impedimento do movimento.

Sendo assim, já descobrimos quanto vale B → x :

∑ F → x = 0 →

B x - 120 = 0       →       B x = 120   N

Passo 3

Agora vamos fazer o seguinte: calcular o equilíbrio de momentos em relação ao ponto B .

Vamos considerar o sentido anti-horário como o positivo:

∑ M → = 0 →

20 + 120 0,05 - A y 0,125 = 0

Não pode esquecer de contabilizar o momento de 20   N ⋅ m que já tinha na estrutura.

Então, obtemos o seguinte:

A y = 208   N

Passo 4

Agora, usando o somatório de forças verticais:

∑ F → y = 0 →

A y - B y = 0       →       B y = 208   N

Passo 5

Sendo assim, o módulo de B → será:

B → = B x 2 + B y 2 = 120 2 + 208 2 = 240   N

Resposta

B → = 240   N

Exercício Resolvido #5

Calcule as forças e o momento de reação na base aparafusada O da estrutura de sinal de trânsito suspenso. Cada sinal tem uma massa de 36   k g , enquanto que as massas dos elementos O C e A C são 50   k g e 55   k g , respectivamente.

Passo 1

O diagrama de corpo livre pode ser representado por:

Passo 2

Vamos calcular as forças peso que estão no diagrama:

P S = 36 9,81       →           P S = 353   N

E vetorialmente, temos que a força peso do sinal aponta para baixo, então:

P → S = - 353 j ^   N

A força peso da barra O C é:

P O C = 50 9,81       →           P O C = 491   N

E o vetor é:

P → O C = - 491 j ^   N

E por último o peso da barra A C :

P A C = 55 9,81       →           P A C = 540   N

Transformando em vetor temos:

P → A C = - 540 j ^   N

Passo 3

Agora vamos achar as reações de apoio. Perceba que o apoio é um engaste, pois a estrutura não pode se movimentar em nenhuma direção e nem girar. Inclusive foi dito no enunciado que a base é aparafusada.

Vamos começar usando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto O e considerando o sentido de giro anti-horário como positivo, temos:

∑ M → O = 0 →      

- M + P S 10 + P S 5 + P A C 4 = 0

Repare que a força P → O C não tem braço de alavanca com relação ao ponto O . Então, vamos substituir os valores:

- M + 353 10 + 353 5 + 540 4 = 0

M = 7455   N ⋅ m

Esse momento é positivo, ou seja, ele gira no sentido horário.

Passo 4

Perceba que não há forças horizontais além da reação de apoio O → x , então:

∑ F → x = 0 →

O x = 0

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F → y = 0 →      

  O y - P S - P S - P O C - P A C = 0

O y - 353 - 353 - 491 - 540   = 0

O y = 17 36   N

Resposta

O x = 0

O y = 1736   N

M = 7455   N ⋅ m

Exercício Resolvido #6

Determine a força P necessária para manter o motor de 200   k g na posição para a qual θ = 30 ° . O diâmetro em B é desprezível.

Passo 1

Se você reparar bem vai ver que esse é o caso em que as forças são concorrentes em um ponto só, ou seja, a linha de ação das forças passa por um dos ponto do desenho?

Você consegue identificar este ponto? É o ponto C , dê uma olhadinha aqui:

Esse é o nosso diagrama de corpo livre.

Perceba que, por se tratar de uma corda, a força P pode ser representada ao longo de toda esta corda. Então, o que fizemos aqui foi transmitir a força P e representá-la na direção C B → .

Passo 2

Vamos usar um pouquinho de geometria agora: Perceba que esse é um triângulo que possui dois lados iguais. Assim, ele terá também dois ângulos iguais.

Perceba também que um dos três ângulos do triângulo vale 30 ° . Sabendo que a soma dos ângulos dá 180 ° , podemos escrever assim:

30 ° + α + α = 180 °           →           α = 150 ° 2

  α = 75 °

Assim:

Passo 3

Então, colocando esses ângulos no nosso diagrama de corpo livre, temos isso aqui:

Agora, temos que decompor todas as forças nos eixos x   e y para podermos fazer as somas dos vetores. Mas repare que temos que descobrir mais alguns ângulos para poder decompor esses vetores:

Repare que somando os ângulos β e γ com 75 ° obtemos 180 ° :

β + 75 ° + γ = 180 °

Mas... Como vamos resolver essa equação se ela tem duas incógnitas? Temos que achar mais um ângulo antes. Para isso, vamos usar este triângulo aqui:

Vamos isolar esse triângulo que queremos para entendermos melhor o que precisamos fazer:

A soma de todos os ângulos internos de um triângulo deve dar 180 ° , então:

75 ° + 90 ° + δ = 180 °           →             δ = 180 ° - 165 °

δ = 15 °

Passo 4

Agora já conseguimos achar o ângulo γ :

Repare que os eixos x e y são perpendiculares entre si, então:

15 ° + γ = 90 °

γ = 75 °

Beleza?

Agora vamos resgatar aquela equação que não conseguimos resolver:

β + 75 ° + γ = 180 °       →           β + 75 ° + 75 ° = 180 °

β = 30 °

Passo 5

Pronto! Achamos todos os ângulos que eram necessários:

Então, vamos calcular o valor do módulo da força F que é nada mais nada menos que o peso do motor:

F = m g = 200 . 9,81 = 1962   N

Escrevendo esta força como um vetor, temos:

F → = - 1962 j ^   N

Agora vamos decompor a força T e a força P nos eixos x e y :

P → x = P c o s   75 ° i ^    

P → y = P s e n   75 ° j ^

E a força T fica assim:

T → x = - T c o s   30 ° i ^    

T → y = T s e n   30 ° j ^

Passo 6

Vamos fazer agora o equilíbrio destas forças. Sabemos que a soma de todas as forças horizontais deve ser zero, então:

�� F → x = 0         →           T → x +   P → x = 0

- T c o s   30 ° +   P c o s   75 ° = 0           →               P c o s   75 ° = T c o s   30 °

Vamos isolar a força T para substituir na próxima equação:

T = P c o s   75 ° c o s   30 °

Beleza?

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F → y = 0         →           T → y +   P → y + F → = 0

T s e n   30 ° +   P s e n   75 ° - 1962 = 0         →           T s e n   30 ° +   P s e n   75 ° = 1962

Vamos substituir T pela equação que achamos ali em cima:

T s e n   30 ° +   P s e n   75 ° = 1962         →           P c o s   75 ° c o s   30 ° s e n   30 ° +   P s e n   75 ° = 1962

Substituindo todos os valores de senos e cossenos, vamos ter que:

0,1494 P + 0,9659 P = 1962

1,1153 P = 1962

P = 1759   N

Resposta

P = 1759   N

Exercício Resolvido #7

A viga uniforme tem massa de 50   k g por metro de comprimento. Calcule as reações no apoio O . As cargas mostradas estão em um plano vertical.

Passo 1

O diagrama de corpo livre pode ser representado por:

Perceba que o apoio é um engaste, então tem reações horizontal, vertical e o momento.

A força P 1 é o peso da barra horizontal e P 2 é o peso do trecho correspondente a barra inclinada.

Passo 2

Vamos calcular as forças peso das barras. Como a viga é uniforme e possui 50   k g por metro de comprimento, a massa da barra horizontal é:

m 1 = 50 1,8 + 0,6       →             m 1 = 120   k g

Então, o módulo de P 1   é:

P 1 = 120 9,81           →             P 1 = 1177,2   N

Como todas as forças estão em k N , vamos passar o peso para esta unidade também:

P 1 = 1,2   k N

Já a massa da barra inclinada é:

m 2 = 50 0,6 + 0,6       →             m 1 = 60   k g

Então, o módulo de P 2   é:

P 2 = 60 9,81           →             P 2 = 589   N

Passando para a unidade de k N , temos que:

P 2 = 0,6   k N

Beleza?

Passo 3

Vamos começar usando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto O :

∑ M → O = 0 →      

Mas antes vamos decompor aquela força inclinada de 1,4   k N :

Como o ângulo de inclinação da força é de 30 ° com relação à vertical, temos que:

Agora vamos usar o triângulo para achar as distâncias com relação ao ponto O . Pelo desenho, temos que:

α + 30 ° = 90 °         →             α = 60 °

Se um dos ângulos internos de um triângulo retângulo é de 60 ° , então o outro é 30 ° :

Portanto, o comprimento y será:

y = 1,2 s e n   30 °         →             y = 0,6   m

Este valor será o braço de alavanca da componente horizontal da força de 1,4   k N com relação ao ponto O :

E o comprimento x será:

x = 1,2 cos ⁡ 30 °         →             x = 1   m

Então, o braço de alavanca da componente vertical da força de 1,4   k N com relação ao ponto O é de:

Passo 4

Agora sim podemos calcular o somatório de momento:

∑ M → O = 0 →

M - 1,2 1,2 - 3 1,8 + 4 - 0,6 1,8 + 0,6 + 1 2 - 1,4 s e n   30 ° 0,6 - 1,4 cos ⁡ 30 ° ( 1,8 + 0,6 + 1 ) = 0

Repare que o braço de alavanca do peso da barra inclinada P 2 é igual a metade da altura do triângulo:

Então, a reação momento será de:

M = 9,12   k N ⋅ m

Como o momento deu positivo, indica que arbitramos um sentido correto para a reação de apoio, ou seja, o momento é no sentido anti-horário.

Passo 5

Agora vamos fazer o somatório de forças horizontais:

∑ F → x = 0 →

O x + 1,4 s e n   30 ° = 0

O x = - 0,7   k N

Repare que o sinal deu negativo, ou seja, arbitramos o sentido contrário para a reação O x . Dessa forma, esta força aponta para a esquerda (sentido contrário ao que desenhamos antes):

Passo 6

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F → y = 0 →      

  O y - P 1 - P 2 - 3 - 1,4 cos ⁡ 30 ° = 0

O y - 1,2 - 0,6 - 4,21 = 0

O y = 6   k N

Resposta

O x = - 0,7   k N

O y = 6   k N

M = 9,12   k N ⋅ m

Exercício Resolvido #8

A barra uniforme de 5   m e massa de 100   k g é articulada em O e impedida de girar mais do que 30 ° no plano vertical pelo rolete fixo em A . Calcule o módulo da força total suportada pelo pino em O .

Passo 1

O diagrama de corpo livre pode ser representado por:

Passo 2

O módulo da força peso P da barra vale:

P = 100 ( 9,81 )

P = 981   N

Agora vamos decompor esta força no eixo x y :

P → x = P s e n   30 °       →           P → x = 981 s e n   30 ° = 491   N

P → y = P c o s   30 °       →           P → y = 981 s c o s   30 ° = 850   N

Agora vamos usar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto O e considerando o sentido de giro anti-horário como positivo, temos:

∑ M → O = 0 →      

  - A 1 + 850 ( 1 ) = 0

A = 850   N

Passo 3

Usando o equilíbrio de forças horizontais:

∑ F → x = 0 →

O x - 850 s e n   30 ° = 0         →         O x = 425   N

E o vertical:

∑ F → y = 0 →      

  O y - 850 cos ⁡ 30 ° - 981 = 0

O y = 1717   N

Então, a resultante de forças no ponto O é:

O = 425 2 + 1717 2 = 1769   N

Resposta

O = 1769   N

Exercício Resolvido #9

Determine a força trativa T no parafuso tensor do sistema polia-cabo em termos da massa m do corpo que ele sustenta. Despreze a massa das polias e do cabo.

Passo 1

Vamos olhar para o sistema de roldanas da esquerda:

Cada roldana divide a tensão em 2 . Assim, a segunda roldana vai gerar uma segunda divisão:

Passo 2

Assim, as forças do sistema vão ser assim:

Assim, o equilíbrio de forças nos dá:

∑ F = 0

T 4 + T + T + T + T 4 - m g = 0

3 T + T 2 = m g

7 T 2 = m g → T = 2 m g 7

Resposta

T = 2 m g 7

Exercício Resolvido #10

Determine a força P necessária para começar a rolar o cilindro uniforme de massa m sobre o degrau h .

Passo 1

Bom, a primeira coisa que precisamos fazer é determinar quais são as forças que atuam no cilindro. São essas:

A força P → , que empurra o cilindro. A normal N → , devido ao contato do cilindro com o chão. E a reação R → , devido ao contato do cilindro com o degrau.

Passo 2

Beleza, mas nós queremos a força P → necessária para o cilindro subir. Isso quer dizer, em outras palavras, que a normal com o chão é nula: na iminência do giro, o cilindro perde o contato com o chão:

Bom, essa informação não vai ser tão relevante para achar o valor de P → , pelo menos não através do caminho que usaremos. Mas fica aí a informação teórica sobre isso.

Observação: estamos, é claro, procurando o valor do módulo de P → .

Passo 3

Bom, preste atenção no triângulo abaixo. Ele é formado pelas distâncias dadas na questão:

Vamos tirar este triângulo de dentro do outro desenho para facilitar a nossa visualização:

Passo 4

Vamos calcular o cosseno do ângulo que aparece no triângulo. Você entenderá nos próximos passos, quando formos decompor a força peso no cálculo do momento:

cos ⁡ θ = r - h r

E, usando:

cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

s e n θ = ( 1 - cos 2 ⁡ θ

Sabemos que:

cos ⁡ θ = r - h r

Então, vamos substituir isso na outra equação:

s e n θ = 1 - r - h r 2

Desenvolvendo, chegamos a:

s e n θ = 2 r h - h 2 r

Passo 5

Agora vem o pulo do gato: vamos usar o equilíbrio de momentos para calcular o valor de P .

Na iminência de girar, o momento causado pela força P compensa os momentos das outras forças.

Tomando o ponto de contato do cilindro com o degrau como referência, teremos as seguintes forças exercendo o momento: o peso e a força P :

Assim:

P . r - h - m g d = 0

Sacou?

Bom, e quanto vale d ?

Passo 6

Agora sim vamos usar o nosso triângulo:

Sacou? d é dado por:

d = r s e n θ

E quanto vale s e n θ ?

s e n θ = 2 r h - h 2 r

Assim:

d = r . 2 r h - h 2 r = 2 r h - h 2

Assim, voltando ao cálculo dos momentos:

P . r - h - m g d = 0

P . r - h - m g 2 r h - h 2 = 0

P = m g 2 r h - h 2 r - h

Pronto!

Resposta

P = m g 2 r h - h 2 r - h

Exercício Resolvido #11

Determine as componentes horizontal e vertical da reação no pino A e a reação do colar liso B sobre a barra.

Passo 1

O diagrama de corpo livre dessa estrutura fica assim:

Perceba que o apoio B impede o movimento somente na horizontal, por isso tem uma reação de apoio. Já o apoio em A impede o movimento tanto na horizontal quanto na vertical.

Passo 2

Para achar as reações, temos que começar fazendo o somatório de momentos com relação a um ponto. Mas qual ponto vamos escolher?

Vamos escolher o ponto A .

∑ M → A = 0 →

Passo 3

Vamos achar a distância da reação B x até o ponto A :

Então:

s e n   30 ° = d B x 1,2         →             d B x = 0,6   m

Passo 4

Agora vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A considerando o sentido anti-horário como positivo:

∑ M → A = 0 →

- 1500 0,3 - 2250 0,3 + 0,6 + B x 0,6 = 0

B x = 4125   N

Passo 5

Agora vamos fazer o somatório de forças horizontais:

∑ F → x = 0 →

A x + 4125 = 0

A x = 4125   N

Passo 6

Para finalizar vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F → y = 0 →      

  A y - 1500 - 2250 = 0

A y = 3750   N

Resposta

B x = 4125   N

A x = 4125   N

A y = 3750   N

Exercício Resolvido #12

O conector de correntes é utilizado para segurar cargas de troncos, madeira, tubos e congêneres. Se a força trativa T 1 vale 2   k N quando θ = 30 ° , determine a força P necessária na alavanca e a força trativa correspondente T 2 para essa posição. Admita que a superfície sob A é perfeitamente lisa.

Passo 1

O diagrama de corpo livre fica assim:

Passo 2

Repare que pelo ponto A passa a linha de ação da força trativa T 2 , então essa força não exerce momento neste ponto.

Então, vamos começar calculando o momento com relação ao ponto A para podermos achar o valor de P :

∑ M → A = 0 →

Mas antes vamos achar as distâncias das forças até o ponto A .

Passo 3

Vamos começar achando a distância da força P com relação ao ponto A . Mas repare que a força P está inclinada... Então, temos que achar a distância de cada uma de suas componentes com relação ao ponto A .

Temos que a distância d P y é:

c o s   30 ° = d P y 0,6             →             d P y = 0 , 52   m

E para a componente x , temos:

s e n   30 ° = d P x 0,6                 →             d P x = 0 , 30   m

Passo 4

Agora vamos achar a distância da força T 1 com relação ao ponto A . Para isso, vamos usar este triângulo aqui:

s e n   30 ° = d T 1 0,1                 →             d T 1 = 0,05   m

Passo 5

Agora vamos decompor a força P :

Vamos achar o ângulo α que a força P faz com relação a horizontal. Repare que a soma dos ângulos deve dar 180 ° , então:

90 ° +   α + 30 ° = 180 °     →           α = 60 °

Agora sim podemos achar as componentes da força P :

Então:

P x = P c o s   60 °

E:

P y = P s e n   60 °

Passo 6

Agora sim podemos calcular o somatório de momento com relação ao ponto A . Para isso vamos considerar o momento positivo no sentido anti-horário:

∑ M → A = 0 →

P x d P x + P y d P y + T 1 d T 1 = 0

- P c o s   60 °   0,30 - P s e n   60 ° 0 , 52 + 2 0,05 = 0

P = 0,1667   k N

Passando isso para Newton, temos:

P = 166 , 7   N

Passo 7

Agora vamos fazer o somatório de forças horizontais:

∑ F → x = 0 →

- T 1 + T 2 + P x = 0           →         - 2000 + T 2 + 166,7 cos ⁡ 60 ° = 0      

Repare que estamos usando todas as forças na mesma unidade que é Newton!

Então:

T 2 = 1917   N

Resposta

P = 166,7   N

T 2 = 1917   N

Exercício Resolvido #13

O elemento O B C e a roldana em C , juntos, têm uma massa de 500   k g , com um centro de massa combinado em G . Calcule o módulo da força suportada pela conexão de pino em O quando a carga de 3   k N é aplicada. O colar em A só pode dar apoio na direção horizontal.

Passo 1

O diagrama de corpo livre desta estrutura fica assim:

Repare que o colar em A só impede o movimento na direção horizontal, então colocamos uma reação horizontal neste ponto.

Já o apoio em O impede os movimentos horizontal e vertical, por isso colocamos duas reações sendo uma em cada direção.

Passo 2

Vamos começar fazendo o somatório de momentos com relação ao ponto O , porque assim conseguimos achar o valor da reação A x :

∑ M → O = 0 →

Mas repare que temos uma força inclinada de 3   k N ... Vamos levar esta força para o centro da roldana. Mas quando levamos a força, sempre temos que levar o momento que ela faz com relação ao ponto:

Esse momento surgiu devido ao braço de alavanca com relação ao centro da roldana ser de 0,5   m , assim:

M = 3 0,5       →           M = 1,5   k N ⋅ m

Beleza?

Agora sim podemos achar as componentes vertical e horizontal da força de 3   k N :

Passo 3

Vamos achar o módulo da força peso:

P = 500 9,81         →             P = 4905   N

Passando tudo para a mesma unidade:

P = 4,905   k N

Então, temos:

Agora sim podemos calcular o momento, considerando o sentido anti-horário como positivo:

∑ M → O = 0 →

1,5 + 3   s e n   30 ° 3 + 3 cos ⁡ 30 ° 4,5 + 4,905 1,5 + A x 2 = 0

A x = - 12,52   k N

Repare que achamos uma força com sinal negativo, isso porque arbitramos o sentido contrário para a reação A x no diagrama de corpo livre. Na verdade, A x deve ser assim:

Passo 4

Agora vamos fazer o somatório de forças horizontais:

∑ F → x = 0 →

+ 12,52 - 3   s e n   30 ° - O x = 0           →         O x = 11,02   k N      

Passo 5

E para finalizar vamos fazer o somatório de forças verticais:

∑ F → y = 0 →

- 3 cos ⁡ 30 ° - 4,905 + O y = 0           →         O y = 7,50   k N      

Passo 6

Vamos calcular a resultante das forças no ponto O :

O = O x 2 + O y 2             →             O = ( 11,02 ) 2 ( 7,5 ) 2

      O = 13,34   k N

Resposta

      O = 13,34   k N

Exercício Resolvido #14

A barra uniforme O A com 18   k g é mantida na posição mostrada por um pino liso em O e pelo cabo A B . Determine a força trativa T no cabo e o módulo e a direção da reação externa no pino em O .

Passo 1

O diagrama de corpo livre dessa estrutura é:

Passo 2

Para achar as reações, temos que começar fazendo o somatório de momentos com relação a um ponto. Mas qual ponto vamos escolher?

Aquele que tenha alguma das nossas incógnitas. Dessa forma, eliminamos alguma das incógnitas, já que a força que está bem em cima do ponto que escolhermos não possui braço de alavanca.

Vamos escolher o ponto O .

∑ M → O = 0 →

Mas antes temos que calcular as distâncias das forças até o ponto O .

Passo 3

Vamos começar achando os ângulos α e β . Para isso, vamos formar o seguinte triângulo retângulo:

Temos que o ângulo α é:

t g   α = 1,5 s e n   60 ° 1,2 + 1,5 cos ⁡ 60 °             →             t g   α = 0,666

α = a r c t g   0,666         →             α = 33,67 °  

Passo 4

Sabendo o ângulo α podemos decompor a força trativa T → :

E as distâncias de cada componente com relação ao ponto O são:

Passo 5

Agora vamos achar a força peso:

P = 18 9,81     →           P = 176,6   N

E a distância dela até o ponto O ? Vamos fazer o seguinte triângulo retângulo:

Repare que a força P → está posicionada na metade da barra de O A , ou seja, está a 0,75   m . Então, a distância d é:

cos ⁡ 60 ° = d 0,75         →             d = 0,75 cos ⁡ 60 °

d = 0,375   m

Passo 6

Agora sim podemos calcular o somatório de momento com relação ao ponto O . Para isso vamos considerar o momento positivo no sentido anti-horário:

∑ M → O = 0 →

- 176,6   0,375 - T s e n   33,67 ° 1,5 cos ⁡ 60 ° + T c o s   33,67 ° 1,5 sen ⁡ 60 ° = 0

T = 99,5   N

Passo 7

Agora vamos fazer o somatório de forças horizontais:

∑ F → x = 0 →

O x - T c o s   33,67 ° = 0       →           O x - ( 99,5 ) c o s   33,67 ° = 0      

O x = 82,81   N

Repare que o sinal deu positivo. Isso significa que arbitramos o sentido da reação O x certinho.

Passo 8

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F → y = 0 →      

  O y - 176,6 - T s e n   33,67 ° = 0         →       O y = 176,6 + ( 99,5 ) s e n   33,67 °

O y = 231,76   N

Passo 9

Agora temos que achar a resultante no apoio O :

O = 82,81 2 + 231,76 2

O = 246   N

Agora temos que saber o ângulo γ que a resultante faz com relação ao eixo x :

t g   γ = 231,76 82,81           →           t g   γ = 2,799  

γ = a r c t g 2,799       →             γ = 70,3 °

Resposta

T = 99,5   N

O = 246   N   c o m   70,3 °   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   a   p a r t i r   d o   e i x o   x

Exercício Resolvido #15

Determine as reações externas em A e F para a treliça de um telhado carregada como mostrado. As cargas verticais representam o efeito de sustentação dos materiais do telhado, enquanto a força de 400   N representa uma carga devida ao vento.

Passo 1

O diagrama de corpo livre dessa treliça fica assim:

Perceba que o apoio A impede o movimento tanto na vertical quanto na horizontal, por isso tem duas reações de apoio. Já o apoio em F é um rolete, ou seja, permite que a estrutura se mova na horizontal, mas impede o movimento na vertical.

E não esqueça que só colocamos reação de apoio na direção em que há o impedimento de movimento.

Passo 2

Para achar as reações, temos que começar fazendo o somatório de momentos com relação a um ponto. Mas qual ponto vamos escolher?

Temos que escolher um ponto que tenha uma das nossas incógnitas, ou seja, o ponto A ou F . Dessa forma, eliminamos uma das incógnitas, já que a força que está bem em cima do ponto que escolhermos não possui braço de alavanca.

Vamos escolher o ponto A .

∑ M → A = 0 →

Repare que não temos as distâncias da maioria das forças... Então, vamos achar!

Passo 3

Vamos começar separando os triângulos que formam a treliça e achando seus ângulos. Vamos começar por este aqui:

A gente sabe que a soma de todos os ângulos internos de um triângulo é igual a 180 ° , então o ângulo α será:

60 ° + 30 ° + ( 30 ° + β ) = 180 °       →           β = 30 °

Então, temos o seguinte triângulo:

Vamos usar a lei dos senos para achar o valor do lado a :

s e n 90 ° 10 = s e n 30 ° a           →           a = 10 s e n 30 ° s e n 90 °

a = 5   m

Como o triângulo é retângulo, pois tem um ângulo de 90 ° , vamos usar o Teorema de Pitágoras para achar o lado b :

10 2 = 5 2 + b 2         →             b = 100 - 25

b = 8,7   m

Vamos passar para outro triângulo.

Passo 4

Agora vamos pegar esse triângulo aqui:

O ângulo α será:

60 ° + 60 ° + ( 30 ° + α ) = 180 °       →           α = 30 °

Como este triângulo tem todos os ângulos iguais a 60 ° ele é um triângulo equilátero. Lembra deste triângulo? Ele tem todos os lados iguais. Ou seja, todos os lados do nosso triângulo serão iguais a 5   m :

Passo 5

Agora vamos achar a distância das forças com relação ao ponto A que ainda não sabemos:

Para achar a distância d 1 vamos usar o triângulo destacado na figura. Precisamos saber quanto vale metade da sua base. Mas repare que esse triângulo é isósceles, pois tem os dois ângulos iguais. Você lembra o que é triângulo isósceles? É aquele que tem dois lados iguais.

Então:

Agora conseguimos achar a distância d 1 :

d 1 = 5 + 2,5         →             d 1 = 7,5   m        

Beleza?

Passo 6

Vamos a achar a distância d 2 agora:

Vamos usar trigonometria para achar a distância d 2 :

cos ⁡ 60 ° = d 2 5         →             d 2 = 5 cos ⁡ 60 °

d 2 = 2,5   m

Passo 7

Agora só falta achar a distância da força de 400   N . Mas repare que esta força está inclinada, então vamos começar decompondo-a:

Agora vamos achar as distâncias dessas duas componentes até o ponto A :

Para isso, vamos começar usando semelhança de triângulos com dois triângulos que tem ângulos internos iguais, são eles:

Então:

y 5 = 5 10         →             y = 2,5   m

Agora conseguimos achar as distâncias d 3 e d 4 :

Vamos usar trigonometria para achar d 3 :

cos ⁡ 60 ° = d 3 2,5           →             d 3 = 2,5 cos ⁡ 60 °

d 3 = 1,25   m

Agora vamos achar d 4 :

s e n   60 ° = d 4 2,5           →             d 4 = 2,5 s e n   60 °

d 4 = 2,2   m

Pronto, temos todas as distâncias!!!!

Passo 8

Agora sim podemos calcular o somatório de momento com relação ao ponto A . Para isso vamos considerar o momento positivo no sentido anti-horário:

∑ M → A = 0 →

F y 10 - 250 10 - 500 7,5 - 500 ( 5 ) - 500 2,5 - 400 s e n   30 ° 1,25 - 400 cos ⁡ 30 ° ( 2,2 ) = 0

F y = 1100   N

Passo 9

Agora vamos fazer o somatório de forças horizontais:

∑ F → x = 0 →

A x + 400 c o s   30 ° = 0

A x = - 346   N

Repare que o sinal deu negativo. Isso significa que arbitramos o sentido da reação A x ao contrário no diagrama de corpo livre. Ou seja, está apontando para o sentido negativo do eixo x .

Passo 10

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F → y = 0 →      

  A y + 1100 - 250 - 500 - 500 - 500 - 400 sen ⁡ 30 ° - 250 = 0

A y = 1100   N

Resposta

A y = 1100   N

A x = - 346   N

F y = 1100   N

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Exercício de Livro
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O guincho é usado para suspender o motor de 200k g . Determine a força que atua no cilindro hidráulico A B , as componentes horiozntal e vertical da força no pino C e as reações no apoio fixo D .
Todos as soluções dos problemas precisam incluir um diagrama de corpo livre.F5.3. A treliça é suportada por um pino em A e um rolete em B. Determine as reações dos apoios.