Teoria

Introdução

Na maioria das questões de mecânica você tem uma estrutura e precisa saber onde posicionar a força peso, não é mesmo?

Se você tem uma figura geométrica simétrica e homogênea, como um quadrado, você sabe que tem que colocar a força peso no seu centro geométrico:

E se você tem uma figura diferente como esta aqui:

Onde posicionar a força peso?

É isso é o que vamos aprender nesse tópico: como calcular centros de corpos 1 D ,     2 D   e até mesmo   3 D .

Partiu?

Centro de gravidade

Centro de gravidade é o local onde o peso de um corpo está uniformemente distribuído. Por exemplo, no corpo humano o centro de gravidade é mais ou menos no umbigo!

Show de bola! Mas na mecânica o conceito de centro de gravidade não é tão utilizado assim. Nós vamos falar mais sobre centro de massa e centroide (que é o centro geométrico).

Por que disso?

O centro de gravidade leva em conta o campo gravitacional, enquanto o centro de massa leva em conta apenas a distribuição da massa pelo corpo. Como em 99,9999% dos problemas de mecânica envolvem campos gravitacionais uniformes, então o centro de massa e centro de gravidade coincidem.

Centro de massa

Na mecânica é muito importante saber o centro de massa de algumas figuras como: o retângulo, o triângulo e o círculo. Além disso, é importante saber calcular esse centro para outros formatos, como o nosso problema em questão:

Antes de fazermos esse problema, vamos focar em situações mais corriqueiras e menos complexas, como o retângulo e o triângulo.

Centroide

Quando falamos de figuras geométricas a gente também não precisa ficar pensando em termos de massa, porque normalmente a massa está distribuída uniformemente pelo corpo. Dessa forma, o centroide (que é o centro geométrico, ou baricentro) é o próprio centro de massa, que é o próprio centro de gravidade (no caso de campo gravitacional uniforme).

Então na maioria esmagadora das vezes nós podemos pensar da seguinte forma:

  1. Centro de massa de um retângulo.
  2. Se nós tivermos um retângulo seu centroide estará localizado exatamente no meio da altura e da base:

    Acredito que não tenha nenhum mistério até aqui.

  3. Já no caso de um triângulo nós vamos ter que o centroide está localizado no encontro das alturas. Perceba que o importante aqui é lembrar da relação 1 / 3 : 2 / 3 .

Esses dois centroides são os mais utilizados com certeza. Mas agora acho que já da para resolver o nosso problema inicial vocês não acham?

Resolvendo com integral

Vamos olhar novamente o nosso probleminha:

Temos de achar o centro de massa desse corpo (ou centroide, ou centro de gravidade. Como temos uma figura homogênea e um campo gravitacional uniforme então fica tudo no mesmo local).

Talvez vocês se lembrem que é possível calcular o centro de massa de um sistema com n de partículas da seguinte forma:

x - = ∑ n ( m i . x - i ) ∑ n m i

Quando a gente transforma isso em integral vamos ter:

x - = ∫ x -   d m m

Mas como a gente tá falando de uma figura geométrica e nem temos a massa, então vamos colocar em função da área:

x - = ∫ x - i   d A A

E temos também a coordenada y do centro de massa:

y - = ∫ y - i   d A A

Onde cada termo x - i e y - i é o centroide de cada retângulinho infinitesimal. Olha só:

Com esse retângulo vertical a gente pode achar a coordenada vertical do nosso centroide, mas é importante saber a área. Então vamos calcular a área cinza primeiro:

A = ∫ d A = ∫ 0 8 y   d x

Faz sentido né? o x variando de 0 até 8 , agora só falta achar uma equação para y . Se

x = k y 3

Então:

y = x k 1 3

Logo,

A = ∫ 0 8 x k 1 3   d x

Pessoal, vamos achar o valor de k para ficar mais fácil. No ponto x = 8 o valor de y é: y = 2 . Portanto:

x = k y 3

8 = k 2 3

k = 1

Substituindo na nossa equação:

A = ∫ 0 8 x 1 3   d x

Resolvendo:

A = 3 4 x 4 3 0 8

A = 12

Agora vamos calcular o ponto y do centroide:

y - = ∫ y - i   d A A

Substituindo o que já temos:

y - = ∫ y - i   y   d x 12

Aí aqui é importante prestar ATENÇÃO. y é a própria altura do retângulo infinitesimal, só vamos transformar de y para x para resolver a equação. Já y - i é o centroide do retângulo infinitesimal. Sendo assim,

y - i = y 2

Fazendo a substituição que já havíamos feito antes:

y = x 1 3

Então nossa integral será da forma:

y - = ∫ x 1 3 2 .   x 1 3     d x 12

Reorganizando:

y - = 1 24 ∫ x 2 3     d x

Resolvendo, lembrando que os limites continuam sendo de 0 a 8 :

y - = 1 24 3 5 x 5 3 0 8

y - = 0,8

Então no nosso desenho o centro de massa vai ficar em algum ponto em cima da linha vermelha:

Repare que sabemos apenas a altura, não sabemos a posição x . Para isso vamos fazer de forma análoga o cálculo da integral para x - dessa vez utilizando barrinhas horizontais:

Agora o termo de área é dado por:

d A = x   d y

Perceba que invertemos né? É legal perceber que não precisamos calcular a área toda novamente. Então a nossa equação vai ficar da forma:

x - = ∫ x - i   d A A

x - = ∫ x - i   x   d y 12

O termo x depende de y da seguinte forma (aqui já vamos considerar k = 1 ):

x = y 3

Mas e o termos x - i ? Ele vai ser metade de x :

x - i = x 2 = y 3 2

Substituindo na equação:

x - = ∫ y 3 2   y 3   d y 12

Reorganizando e lembrando que a integral agora vai de 0 até 2 temos:

x - = 1 24 ∫ 0 2 y 6   d y

Resolvendo:

x - = 1 24 y 7 7 0 2

x - = 0 , 762

Maaaass tem um detalhe, esse valor de 0 , 762 é quando medimos o centroide a partir do ponto x = 8 então a localização do centroide é:

x - = 8 - 0 , 762 = 7 , 238

Prontinho!!! Achamos o nosso ponto exato do centro de massa:

Pessoal, só pra finalizar essa parte vou deixar uma tabelinha aqui com outras integrais úteis.

Outros tipos de centros

Centro de massa

Centroide

Resolvendo com integral

Outros tipos de centros

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