Centros e Centróides
Produzido por Pablo RicardoTeoria
Introdução
Na maioria das questões de mecânica você tem uma estrutura e precisa saber onde posicionar a força peso, não é mesmo?
Se você tem uma figura geométrica simétrica e homogênea, como um quadrado, você sabe que tem que colocar a força peso no seu centro geométrico:
E se você tem uma figura diferente como esta aqui:
Onde posicionar a força peso?
É isso é o que vamos aprender nesse tópico: como calcular centros de corpos e até mesmo
Partiu?
Centro de gravidade
Centro de gravidade é o local onde o peso de um corpo está uniformemente distribuído. Por exemplo, no corpo humano o centro de gravidade é mais ou menos no umbigo!
Show de bola! Mas na mecânica o conceito de centro de gravidade não é tão utilizado assim. Nós vamos falar mais sobre centro de massa e centroide (que é o centro geométrico).
Por que disso?
O centro de gravidade leva em conta o campo gravitacional, enquanto o centro de massa leva em conta apenas a distribuição da massa pelo corpo. Como em 99,9999% dos problemas de mecânica envolvem campos gravitacionais uniformes, então o centro de massa e centro de gravidade coincidem.
Centro de massa
Na mecânica é muito importante saber o centro de massa de algumas figuras como: o retângulo, o triângulo e o círculo. Além disso, é importante saber calcular esse centro para outros formatos, como o nosso problema em questão:
Antes de fazermos esse problema, vamos focar em situações mais corriqueiras e menos complexas, como o retângulo e o triângulo.
Centroide
Quando falamos de figuras geométricas a gente também não precisa ficar pensando em termos de massa, porque normalmente a massa está distribuída uniformemente pelo corpo. Dessa forma, o centroide (que é o centro geométrico, ou baricentro) é o próprio centro de massa, que é o próprio centro de gravidade (no caso de campo gravitacional uniforme).
Então na maioria esmagadora das vezes nós podemos pensar da seguinte forma:
- Centro de massa de um retângulo.
- Já no caso de um triângulo nós vamos ter que o centroide está localizado no encontro das alturas. Perceba que o importante aqui é lembrar da relação .
Se nós tivermos um retângulo seu centroide estará localizado exatamente no meio da altura e da base:
Acredito que não tenha nenhum mistério até aqui.
Esses dois centroides são os mais utilizados com certeza. Mas agora acho que já da para resolver o nosso problema inicial vocês não acham?
Resolvendo com integral
Vamos olhar novamente o nosso probleminha:
Temos de achar o centro de massa desse corpo (ou centroide, ou centro de gravidade. Como temos uma figura homogênea e um campo gravitacional uniforme então fica tudo no mesmo local).
Talvez vocês se lembrem que é possível calcular o centro de massa de um sistema com de partículas da seguinte forma:
Quando a gente transforma isso em integral vamos ter:
Mas como a gente tá falando de uma figura geométrica e nem temos a massa, então vamos colocar em função da área:
E temos também a coordenada do centro de massa:
Onde cada termo e é o centroide de cada retângulinho infinitesimal. Olha só:
Com esse retângulo vertical a gente pode achar a coordenada vertical do nosso centroide, mas é importante saber a área. Então vamos calcular a área cinza primeiro:
Faz sentido né? o variando de até , agora só falta achar uma equação para . Se
Então:
Logo,
Pessoal, vamos achar o valor de para ficar mais fácil. No ponto o valor de é: . Portanto:
Substituindo na nossa equação:
Resolvendo:
Agora vamos calcular o ponto do centroide:
Substituindo o que já temos:
Aí aqui é importante prestar ATENÇÃO. é a própria altura do retângulo infinitesimal, só vamos transformar de para para resolver a equação. Já é o centroide do retângulo infinitesimal. Sendo assim,
Fazendo a substituição que já havíamos feito antes:
Então nossa integral será da forma:
Reorganizando:
Resolvendo, lembrando que os limites continuam sendo de a :
Então no nosso desenho o centro de massa vai ficar em algum ponto em cima da linha vermelha:
Repare que sabemos apenas a altura, não sabemos a posição . Para isso vamos fazer de forma análoga o cálculo da integral para dessa vez utilizando barrinhas horizontais:
Agora o termo de área é dado por:
Perceba que invertemos né? É legal perceber que não precisamos calcular a área toda novamente. Então a nossa equação vai ficar da forma:
O termo depende de da seguinte forma (aqui já vamos considerar ):
Mas e o termos ? Ele vai ser metade de :
Substituindo na equação:
Reorganizando e lembrando que a integral agora vai de até temos:
Resolvendo:
Maaaass tem um detalhe, esse valor de é quando medimos o centroide a partir do ponto então a localização do centroide é:
Prontinho!!! Achamos o nosso ponto exato do centro de massa:
Pessoal, só pra finalizar essa parte vou deixar uma tabelinha aqui com outras integrais úteis.