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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 15

O comprimento não deformado da mola A B é 3   m . Se o bloco é mantido na posição de equilíbrio mostrada, determine a massa do bloco em D .

Passo 1

Fala! Vamos entender o que houve. Temos uma caixa de peso P . E ela é segurada por duas molas. Queremos achar a massa da caixa.

Primeira coisa é nesse tipo de questão é fazer o diagrama de corpo livre. Vamos olhar para B . O lado A B pode ser achado por pitagoras. Ele vale 5   m . Temos então um triângulo 3/4/5. Por isso a gente pode colocar aquele triângulozinho indicando essa orientação na força T A B .

Usando as relações trigonométricas podemos descobrir os valres de

t a n g e n t e = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e

c o s s e n o = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a

s e n o = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

Para o ângulo β , como a gente tem esse triângulo 3/4/5 é mais jogo só achar o valor de seno, cosseno e tangente, porque esse β não vai ser inteiro.

tag ⁡ β = 3 4 ,     cos ⁡ β = 4 5 ,     sen ⁡ β = 3 5  

Para o ângulo α é mais jogo achar o ângulo mesmo. Repara

tg ⁡ α = 3 3

tg ⁡ α = 1

α = 45 °

Temos nessa situação forças coplanares. Como tudo deve estar em equilíbrio, o somatório de forças zera nos dois eixos. Vamos então calcular esse somatório no ponto B e achar P . Bora!

Passo 2

A soma de forças em x e em y deve ser zero.

Vamos decompor primeiro as forças em x :

∑ F x = 0

T A B cos ⁡ β - T A C cos ⁡ α = 0

Nós já sabemos o valor dos cossenos:

T A B 4 5 - T A C cos ⁡ 45 ° = 0

4 T A B 5 - 2 T A C 2 = 0

O valor de T A B pode ser calculado, ele é igual a força elástica da mola

F = k x

T A B = k x

Nós sabemos a mola AB não deformada tem um tamanho igual a 3   m . Nós sabemos que o triângulo que essa mola forma com a horizontal e a vertical é um triângulo retângulo 3, 4, 5, então o tamanho da mola deformada é de 5   m , ou seja ela está 2   m deformada:

T A B = 30 2

T A B = 60   N

Continuando nossa equação:

4 T A B 5 - 2 T A C 2 = 0

4 60 5 - 2 T A C 2 = 0

4 60 5 - 2 T A C 2 = 0

T A C = 48 2   N

E cê pode pensar: Por que não achamos T A C pela fórmula da força elástica também? Ali tem uma mola, né? Cara, é porque o enunciado não nos deu o comprimento sem deformação de A C . Aì não tem como descobrir sua deformação.

Passo 3

Agora vamos decompor as forças em y :

∑ F y = 0

T A B sen ⁡ β + T A C sen ⁡ α - P = 0

O peso é igual a massa vezes a gravidade:

T A B sen ⁡ β + T A C sen ⁡ α - m g = 0

Como já temos os valores de sen ⁡ β ,   α ,   m e de T A B :

60 3 5 + 48 2 sen ⁡ 45 - m 9,81 = 0

( 60 ) 3 5 + 48 2 2 2 = m 9,81

Isolando m :

m = 8,56   k g

Resposta

m = 8,56   k g

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