Método da superposição

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Teoria

Fala, galerinha!!

Hoje a gente vai bater um papo sobre o método da superposição aplicado de modo a achar as reações em vigas e eixos estaticamente indeterminados. Por exemplo o caso abaixo:

Se você tem nos acompanhado deve lembrar de um exercício parecido e que já resolvemos ele utilizando o método dos momentos de área onde utilizamos o diagrama M / E I . Mas agora eu te pergunto uma coisa, será que é realmente necessário sempre fazer esse diagrama para resolver problemas assim?

A resposta é NÃO! Não precisamos ficar toda hora achando os diagramas até porque isso é chato pra caramba não é verdade?

Então se liga que eu vou te ensinar um jeito boladão de resolver problemas sobre vigas e eixos estaticamente indeterminados.

Problema estaticamente indeterminado

Vamos utilizar o exemplo dado a cima e visualizar que se trata de um caso de hiperestaticidade, ou seja, estaticamente indeterminado. Isso porque temos mais incógnitas do que equações.

Para resolver isso a gente usa nossos conhecimentos sobre linha elástica que nos fornecerá o valor de uma incógnita, assim vamos ter o mesmo número de incógnitas e equações podendo pelas equações da estática normalmente =D

Separando as componentes

Agora vamos retirar um apoio e substituí-lo por uma força.

Galera, a gente só tem que lembrar de uma coisa: a nossa viga tem que continuar em equilíbrio então se a gente retirar o engaste teríamos de adicionar as duas forças correspondentes e o momento correspondente (por isso é mais prático retirar o apoio).

Quando a gente fala de linha elástica a gente pode fazer a superposição das deflexões que consiste em calcular a deflexão de cada componente separadamente e fazer uma simples soma algébrica entre eles.

y = y 1 + y 2

Relação entre as deflexões

Para cada carregamento diferente vamos fazer o cálculo da respectiva deflexão. Primeiro vou mostrar graficamente como fica e depois vamos achar os valores.

Reparem que no nosso exemplo a viga “real” exibida na extrema esquerda não possui deflexão em B , ou seja.

y = 0

Enquanto nas componentes separadas há uma deflexão para cima y 2 e outra para baixo y 1 . Dessa forma vamos ter que:

y 1 + y 2 = 0

y 1 = - y 2

Logo, a deflexão de uma é exatamente o oposto da outra!

Cálculo das deflexões

Pessoal, para calcular o valor de y 1 e y 2 nós podemos utilizar qualquer um dos métodos que são utilizados no calcula da linha elástica podendo ser: interação, momentos de área ou superposição. Sério, tanto faz!

Como tanto faz eu vou usar o método mais fácil que é a utilização da tabela!!! Essa tabelinha tem o nome de “inclinações e deflexões em vigas” e é encontrada em qualquer livro de resistência dos materiais. Abaixo está o que precisamos para o nosso problema.

Com isso vamos achar os valores:

y 1 = - 5 P L 3 48 E I

e

y 2 = P L 3 3 E I

Repara que y 2 ficou positivo porque a força B y está voltada para cima!

Substituindo os valores a gente vai achar:

y 1 = - 25 0 ( 3 ) 3 48 E I

e

y 2 = B y ( 3 ) 3 3 E I

Aplicar na equação que a gente achou que relaciona as deflexões:

y 1 = - y 2

- 2 50 3 3 48 E I = - B y ( 3 ) 3 3 E I

B y = 15,625   k N

Achamos o valor de uma das reações!!!

Achando as outras reações

Com o valor de B y podemos agora com a a estática podemos achar o resto!

A x = 0

A y = 50 - 15,625 = 34,675   k N

M 0 = 50 × 1,5 - 15,625 × 3 = 28,125   k N . m

Resumo

Logo, para que a gente possa utilizar o método da superposição temos de seguir o seguinte passo a passo:

  • Separar os componentes.
  • Achar a relação entre as deflexões a partir da geometria do problema.
  • Calcular o valor de cada deflexão individual com o método mais conveniente.
  • Aplicar a relação entre as deflexões para os valores encontrados.
  • Achar o valor de uma das reações.
  • Achar as outras reações pelas equações da estática.

Separando as componentes

Relação entre as deflexões

Cálculo das deflexões

Achando as outras reações

Resumo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine as reações nos apoios A e B . Considere E I constante e utilize a tabela de deformações a seguir.

Passo 1

Faaaaala, galerinha MONSTRAAA da RESMAT!!!!Esse problema parece ser muito fácil já que ele pede somente as reações em A e em B , mas a gente tem que lembrar que se trata de uma viga estaticamente indeterminada, ou seja, uma viga hiperestática. Então, a gente não vai conseguir resolver simplesmente jogando aquelas equações da estática:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ M = 0

Porque a gente só vai ter três equações e temos, na verdade, 4 incógnitas. Então vamos resolver isso fazendo o método boladão da superposição que consiste em calcular as deflexões e achar relações entre elas para encontrar uma das 4 incógnitas isoladamente.

Então partiu resolver esse exercício!

Passo 2

Primeiramente vamos dividir o problema, como se a gente fosse resolver dois probleminhas isoestáticos separados. Para isso vamos retirar um dos apoios, mantendo a estrutura em equilíbrio!!! O apoio que vamos retirar vai ser a rótula e temos que adicionar a respectiva força de reação:

Passo 3

Agora vamos calcular a deflexão que cada componente, a força de 15   k N e a força B y , realizam na barra. Para isso vamos desenhar um esquema de como fica a linha elástica de cada um desses elementos.

Nossaaaa que coisa mais linda, sério!

Então, pelo princípio da superposição a deflexão do ponto B vai ser:

y = y 1 + y 2

Então vamos calcular cada deflexão com auxílio da tabela fornecida. Para y 1 temos o primeiro caso, portanto:

y 1 = - 5 P L 3 48 E I

Substituindo nós vamos ter:

y 1 = - 5 15 4 3 48 E I

Para y 2 nós temos o segundo caso:

y 2 = - P L 3 3 E I

substituindo:

y 2 = ( B y ) ( 4 ) 3 3 E I

É positivo mesmo, galera!! Veja que a força B y tem sentido oposto da tabela.

Passo 4

Agora a gente vai aplicar a equação da superposição que para este problema é igual a:

y = y 1 + y 2

y = - 5 15 4 3 48 E I + ( B y ) ( 4 ) 3 3 E I

Aí agora que ta toda a sacaçãaumm desse problemitcho. Como a viga está apoiada em B então nós vamos ter que a deflexão neste ponto vai ser igual a 0 .

y = 0

Então nós vamos ter:

0 = - 5 15 4 3 48 E I + ( B y ) ( 4 ) 3 3 E I

Resolvendo essa equação a gente obtém:

B y = 4,6875   k N

Viram como a gente consegiu achar uma reação só com as propriedades na linha elástica?

Passo 5

Mas ainda faltam as reações em A naõ é mesmo? Aí é só a gente utilizar as equações da estática mesmo...

Fazendo a soma das forças em y :

∑ F y = 0

A y = 15 - 4,6875 = 10,3125   k N

em x :

∑ F x = 0

A x = 0

Para o momento:

∑ M A = 0

M 0 = 15 × 2 - 4,6875 × 4 = 11,25   k N . m

E como dizem os franceses: VOUALA

Resposta

A y = 10,3125   k N

A x = 0

B y = 4,6875   k N

M 0 = 11,25   k N . m

Exercício Resolvido #2

Determine as reações nos apoios A , B e C . Considere E I constante. Utilize a tabela fornecida.

Passo 1

E aí, pessoal BOLADO!!! Vamos resolver essa questão sobre uma viga indeterminada, onde precisamos achar os valores das reações em A e em B . Mas para isso não basta utilizar apenas as equações da estática:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ M = 0

Porque a gente só vai ter três equações e temos, na verdade, 4 incógnitas. Então vamos resolver isso fazendo o método super neurótico da superposição que consiste em calcular as deflexões e achar relações entre elas para encontrar uma das 4 incógnitas isoladamente.

Então partiu resolver esse exercício!

Passo 2

Primeiramente vamos dividir o problema, como se a gente fosse resolver dois probleminhas isoestáticos separados. Para isso vamos retirar um dos apoios, mantendo a estrutura em equilíbrio!!! O apoio que vamos retirar vai ser a rótula e temos que adicionar a respectiva força de reação:

Passo 3

Agora vamos calcular a deflexão que cada componente, a força de 15   k N e a força B y , realizam na barra. Para isso vamos desenhar um esquema de como fica a linha elástica de cada um desses elementos.

Uhullll, tamo chegando em algum lugar! Agora a gente vai ter que pelo princípio da superposição a deflexão do ponto B vai ser:

y = y 1 + y 2

Então vamos calcular cada deflexão. Pessoal, a gente pode calcular da forma que acharmos melhor, qualquer método vale. Como normalmente para a aplicação deste método a tabela é utilizada vamos seguir com esse método.

Então a deflexão para a carga distribuída vai ser igual a:

y 1 = - 7 w L 4 384 E I

Enquanto para a força B y :

y 2 = B y L 3 3 E I

No caso da força B y a deflexão é positiva mesmo porque a força é de baixo para cima!

Passo 4

Agora vamos substituir essas deflexões na equação da superposição:

y = y 1 + y 2

Substituindo os valores:

y = - 7 w L 4 384 E I + B y L 3 3 E I

Agora vai A PARADA dessa questão que é perceber que não há deflexão em B , por se tratar de um apoio, sendo assim y = 0 .

0 = - 7 w L 4 384 E I + B y L 3 3 E I

B y = 3 × 7 w L 384

Como w = 100   k N . m e L = 10   m vamos ter:

B y = 54,6875   k N

Passo 5

Mas ainda faltam as reações em A naõ é mesmo? Aí é só a gente utilizar as equações da estática mesmo...

Fazendo a soma das forças em y :

∑ F y = 0

A y = 100 × 5 - 54,6875 = 445,3125   k N

em x :

∑ F x = 0

A x = 0

Para o momento:

∑ M A = 0

M 0 = 100 × 5 × 2,5 - 54,6875 × 10 = 703,125   k N . m

Prontinho!!

Resposta

A y = 445,3125   k N

A x = 0

B y = 54,6875   k N

M 0 = 703,125   k N . m

Exercício Resolvido #3

Determine a reação no apoio B . Considere E I constante. Utilize a tabela fornecida.

Passo 1

E aí, pessoal BOLADO!!! Vamos resolver essa questão sobre uma viga indeterminada, onde precisamos achar os valores das reações em A e em B . Mas para isso não basta utilizar apenas as equações da estática:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ M = 0

Porque a gente só vai ter três equações e temos, na verdade, 4 incógnitas. Então vamos resolver isso fazendo o método super neurótico da superposição que consiste em calcular as deflexões e achar relações entre elas para encontrar uma das 4 incógnitas isoladamente.

Então partiu resolver esse exercício!

Passo 2

Primeiramente vamos dividir o problema, como se a gente fosse resolver dois probleminhas isoestáticos separados. Para isso vamos retirar um dos apoios, mantendo a estrutura em equilíbrio!!! O apoio que vamos retirar vai ser a rótula e temos que adicionar a respectiva força de reação:

Passo 3

Agora vamos calcular a deflexão que cada componente realiza na barra. Para isso vamos desenhar um esquema de como fica a linha elástica de cada um desses elementos.

Uhullll, tamo chegando em algum lugar! Agora a gente vai ter que pelo princípio da superposição a deflexão do ponto B vai ser:

y = y 1 + y 2 + y 3

Então vamos calcular cada deflexão. Pessoal, a gente pode calcular da forma que acharmos melhor, qualquer método vale. Como normalmente para a aplicação deste método a tabela é utilizada vamos seguir com esse método.

A deflexão da carga triangular vai ser igual a:

y 1 = - w 0 L 4 30 E I

A deflexão para a carga distribuída vai ser igual a:

y 1 = - w L 4 8 E I

Enquanto para a força B y :

y 2 = B y L 3 3 E I

No caso da força B y a deflexão é positiva mesmo porque a força é de baixo para cima!

Passo 4

Agora vamos substituir essas deflexões na equação da superposição:

y = y 1 + y 2 + y 3

Substituindo os valores:

y = - w 0 L 4 30 E I - w L 4 8 E I + B y L 3 3 E I

y = - 25 ( 6 ) 4 30 E I - 25 ( 6 ) 4 8 E I + B y L 3 3 E I

Agora vai A PARADA dessa questão que é perceber que não há deflexão em B , por se tratar de um apoio, sendo assim y = 0 .

0 = - 25 ( 6 ) 4 30 E I - 25 ( 6 ) 4 8 E I + B y L 3 3 E I

B y = 67,5   k N

Resposta

B y = 67,5   k N

Exercício Resolvido #4

Determine as reações nos apoios A , B e C . Considere E I constante. Utilize a tabela fornecida.

Passo 1

Faaala pessoal!!! Vamos resolver essa questão sobre uma viga indeterminada, onde precisamos achar os valores das reações em A , B e C . Mas para isso não basta utilizar apenas as equações da estática:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ M = 0

Porque a gente só vai ter três equações e temos, na verdade, 4 incógnitas. Então vamos resolver isso fazendo o método super neurótico da superposição que consiste em calcular as deflexões e achar relações entre elas para encontrar uma das 4 incógnitas isoladamente.

Então partiu resolver esse exercício!

Passo 2

Primeiramente vamos dividir o problema, como se a gente fosse resolver dois probleminhas isoestáticos separados. Para isso vamos retirar um dos apoios, mantendo a estrutura em equilíbrio!!! O apoio que vamos retirar vai ser a rótula e temos que adicionar a respectiva força de reação:

Passo 3

Pessoal, a gente nem precisa esboçar a linha elástica de cada elemento. O que precisamos mesmo saber é que em B a deflexão vai ser igual a zero por se tratar de um apoio, logo

y = 0

Além disso pelo princípio da superposição a gente vai ter que:

y = y 1 + y 2 + y 3

Então vamos calcular cada deflexão. Pessoal, a gente pode calcular da forma que acharmos melhor, qualquer método vale. Como normalmente para a aplicação deste método a tabela é utilizada vamos seguir com esse método.

Então a deflexão para a carga distribuída no ponto médio B vai ser igual a:

y 1 = - 5 w L 4 768 E I

A deflexão do momento:

y 2 = - M 0 L 2 243 E I

Enquanto para a força B y :

y 2 = B y L 3 48 E I

No caso da força B y a deflexão é positiva mesmo porque a força é de baixo para cima!

Passo 4

Agora vamos substituir essas deflexões na equação da superposição:

y = y 1 + y 2 + y 3

Substituindo os valores:

y = - 5 w L 4 768 E I - M 0 L 2 243 E I + B y L 3 48 E I

y = - 5 ( 10 ) ( 8 ) 4 768 E I - 30 ( 8 ) 2 243 E I + B y L 3 48 E I

Agora vai A PARADA dessa questão que é perceber que não há deflexão em B , por se tratar de um apoio, sendo assim y = 0 .

0 = - 5 ( 10 ) ( 8 ) 4 768 E I - 30 ( 8 ) 2 243 E I + B y L 3 48 E I

B y = 36,55   k N

Passo 5

E as outras reações serão dadas pela estática:

Para o momento:

∑ M A = 0

30 + 10 × 4 × 2 - C y × 8 = 0

C y = 13,75   k N

Fazendo a soma das forças em y :

∑ F y = 0

A y = 10 × 4 - 36,55 - 13,75 = - 10,3   k N

Prontinho!!

Resposta

A y = - 10,3   k N

B y = 36,55   k N

C y = 13,75   k N

Exercício Resolvido #5

Determine a reação no apoio B . Considere E I constante. Utilize a tabela fornecida.

Passo 1

Faaala pessoal!!! Vamos resolver essa questão sobre uma viga indeterminada, onde precisamos achar os valores das reações em A , B e C . Mas para isso não basta utilizar apenas as equações da estática:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ M = 0

Porque a gente só vai ter três equações e temos, na verdade, 4 incógnitas. Então vamos resolver isso fazendo o método super neurótico da superposição que consiste em calcular as deflexões e achar relações entre elas para encontrar uma das 4 incógnitas isoladamente.

Então partiu resolver esse exercício!

Passo 2

Primeiramente vamos dividir o problema, como se a gente fosse resolver dois probleminhas isoestáticos separados. Para isso vamos retirar um dos apoios, mantendo a estrutura em equilíbrio!!! O apoio que vamos retirar vai ser a rótula e temos que adicionar a respectiva força de reação:

Passo 3

Pessoal, fazendo um esboço da linha elástica

O que precisamos mesmo saber é que em B a deflexão vai ser igual a zero por se tratar de um apoio, logo

y = 0

Além disso pelo princípio da superposição a gente vai ter que:

y = y 1 + y 2

Então vamos calcular cada deflexão. Pessoal, a gente pode calcular da forma que acharmos melhor, qualquer método vale. Como normalmente para a aplicação deste método a tabela é utilizada vamos seguir com esse método.

Agora que vem umd detalhe importante, para calcular a deflexão devido a carga triangular a gente tem que utilizar um pouco de geometria e para isso vamos pegar a inclinação e multiplicar pela parte que está sem carga ( 2   m e t r o s ) :

y 1 = θ 1 × 2 + y ' 1

y 1 = - w 0 L 3 24 E I × 2 - w 0 L 4 30 E I

Enquanto para a força B y :

y 2 = B y L 3 48 E I

No caso da força B y a deflexão é positiva mesmo porque a força é de baixo para cima!

Passo 4

Agora vamos substituir essas deflexões na equação da superposição:

y = y 1 + y 2

Substituindo os valores:

y = - w 0 L 3 24 E I × 2 - w 0 L 4 30 E I + B y L 3 48 E I

y = - ( 30 ) ( 3 ) 3 24 E I × 2 - ( 3 ) ( 3 ) 4 30 E I + B y ( 5 ) 3 48 E I

Agora vai A PARADA dessa questão que é perceber que não há deflexão em B , por se tratar de um apoio, sendo assim y = 0 .

y = - ( 30 ) ( 3 ) 3 24 E I × 2 - ( 3 ) ( 3 ) 4 30 E I + B y ( 5 ) 3 48 E I

B y = 3,56   k N

Resposta

B y = 3,56   k N

Exercício Resolvido #6

Utilizando o método da superposição, determine o valor de M 0 em termos da carga dristribuída w e da dimensão a , de modo que a deflexão no centro da viga seja nula. E I é constante.

Passo 1

Fala, galerinha!!

Como o próprio enunciado já fala nós vamos ter de utilizar o método da superposição. Só para lembrar esse método consiste em calcular a deflexão que cada carga realiza num dado ponto e somar as deflexões de modo a obter a deflexão total.

Então primeiro nós precisamos achar a deflexão que carga realiza. Quando utilizamos a superposição nós quase sempre vamos utilizar as tabelas de deflexão, sendo assim vale lembrar da tabelinha:

Repare que a deflexão relativa ao momento não é máxima no ponto médio ok? Então a gente não pode pegar o valor de y m á x , nos temos de pegar o valor de y x = L / 2 . Isso porque o problema quer que analisemos o centro da viga!

Show de bola, vamos resolver então!

Passo 2

Como nós temos três carregamentos: 2 momentos e uma carga distribuída, então nós vamos ter três deflexões que somadas devem dar a deflexão total:

y = y 1 + y 2 + y 3

Vamos calcular cada uma delas começando pela deflexão da carga distribuída:

y 1 = - 5 w L 4 384 E I

Substituindo os valores:

y 1 = - 5 w a 4 384 E I

Tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos fazer para um dos momentos. Você deve ter reparado que existe uma pequena diferença entre a figura do problema e a figura da tabela. Na tabela o momento é colocado exatamente no apoio, enquanto no problema existe um afastamento.

Mas não se preocupe! Pois como se trata de um momento puro e nós queremos saber o que acontece entre os apoios, então podemos simplesmente ignorar a parte em balanço e fingir que esse momento atua exatamente no apoio. Obtendo:

y 2 = - M 0 L 2 16 E I

Substituindo os valores:

y 2 = M 0 a 2 16 E I

Perceba que o valor da deflexão ficou positivo, isso porque o momento da nossa questão tem sentido inverso ao momento da tabela.

Além disso, como ambos os momentos são simpetricos então nós vamos ter que:

y 3 = y 2 = M 0 a 2 16 E I

Passo 4

Agora é só somar as três deflexões:

y = - 5 w a 4 384 E I + M 0 a 2 16 E I + M 0 a 2 16 E I

Como o problema pede que a deflexão no centro seja nula:

- 5 w a 4 384 E I + M 0 a 2 16 E I + M 0 a 2 16 E I = 0

M 0 = 5 w a 2 48

Resposta

M 0 = 5 w a 2 48

Exercício Resolvido #7

A viga e a haste de aço A - 36 são usadas para suportar a carga de 40   k N . Se for exigido que a tensão normal admissível para o aço seja σ a d m = 125   M P a e a deflexão máxima não ultrapasse 1,25   m m , determine o menor diâmetro da haste a ser usado. A viga é retangular, com 125   m m de altura e 75   m m de espessura.

Passo 1

Galerinha linda, a primeira coisa que a gente precisa entender neste problema é que vão existir dois deslocamentos. Um referente à deflexão da viga δ 1 e outro relacionado com a tração do cabo δ 2 . Então, a gente pode representar num desenhozinho da seguinte maneira:

Por isso que faz total sentido utilizar o conceito de sobreposição, já que os deslocamentos estão sobrepostos, belezinha?

Além disso ambos estão localizados no ponto B , logo, eles devem ser, necessariamente, iguais:

δ 1 = δ 2

E vai ser por meio dessa realação que vamos conseguir resolver nosso probleminha. Partiu?

Passo 2

Pessoal, vamos começar pelo deslocamento da haste. Esse deslocamento depende das tensões trativas e é dado por:

δ 2 = F L A E

Nós, temos L = 1,5   m , E = 200   G P a (aço A - 29 ), a área A depende do diâmetro que é o que queremos calcular. Você pode até achar que a força F vale 40   k N , mas não vale beleza? Não vale porque parte dessa força serve fletir a barra e parte para tracionar a haste. Então não temos F por enquanto. Temos:

δ 2 = F ( 1,5 ) A ( 200.10 9 )

Mas repare que o problema nos diz que a tensão vale σ a d m = 125   M P a . Lembrando que:

σ = F A

A gente pode dizer que:

δ 2 = σ a d m ( 1,5 ) ( 200.10 9 )

δ 2 = 125.10 6 ( 1,5 ) ( 200.10 9 )

δ 2 = 9,375.10 - 4   m

Passo 3

Para calcular a deflexão da viga a gente pode utilizar uma das nossas tabelas:

Logo, a deflexão será:

δ 1 = P L 3 3 E I

Vamos calcular o momento de inércia rapidinho:

I = b h 3 12

I = 0,075 × 0,0125 3 12 = 1,22.10 - 5   m 4

Substituindo e lembrando que a força P é igual à força aplicada de 40 menos a parte relativa à haste F nós vamos ter:

δ 1 = ( 40 - F ) 1,2 3 3 ( 200.10 9 ) ( 1,22.10 - 5 )

Repare que novamente não temos a força que atua. Mas pode ficar tranquilo que vamos encontrar essa força agora.

Passo 4

Como as duas deflexões são iguais nós vamos ter:

δ 1 = ( 40 - F ) 1,2 3 3 ( 200.10 9 ) ( 1,22.10 - 5 ) = 9,375.10 - 4   m

Então a força será igual a:

F = 36,03   k N

Agora é só substituir essa força na equação da tensão da haste:

σ = F A

125.10 6 = 36,03.10 3 π r 2

r = 9,58   m m

Logo,

d = 19,16   m m

Resposta

d = 19,16   m m

Exercício Resolvido #8

Determine a deflexão na extremidade B da tira de aço A - 36 . A rigidez da mola é k = 2   N / m m . Considere que a barra tem 5   m m de base.

Passo 1

Vamo lá, galera, resolver mais uma questão aí!

A configuração desse problema é de uma barra engastada com uma força sendo aplicada na ponto, até aí suave. A questão é que existe uma mola também e essa mola, ao deformar, irá aplicar uma força oposta na barra.

A grande sacação desse problema é calcular a deflexão real da barra devido a duas forças: da mola e da força 50   k N .

Passo 2

A deflexão real da barra tem a seguinte equação:

y r e a l = y 1 - y 2

Onde y 1 representa a deflexão causada pela força de 50   k N e y 2 a deformação causada pela mola.

A gente pode achar a deflexão causada pela força de 50   k N através da tabela e vamos encontrar:

y 1 = - 50 0,2 3 3 E I

y 1 = - 0,4 3 E I

Passo 3

Já a deflexão causada pela mola depende da deformação que a mola sofre, lembra da força da mola?

F m o l a = - k x

Mas aqui que tá o pulo do gato. A deflexão real é a própria deformação da mola, então:

y r e a l = y 1 - y 2

x = y 1 - y 2

Como é uma força que atua na extremidade da barra então nós vamos ter:

y 2 = F m o l a 0,2 3 3 E I

Lembrando que o sinal está positivo porque a força aponta para cima.

Agora é só juntar as duas equações:

x = - 0,4 3 E I + F m o l a 0,2 3 3 E I

Fica mais fácil se colocarmos a força da mola em função de x . Lembrando que a deformação da mola e para baixo, logo o x fica negativo

- x = - 0,4 3 E I + k x 0,2 3 3 E I

Passo 4

Para resolver essa equação a gente precisa lembrar que o aço A - 36 tem E = 200   G P a . Além disso, temos de lembrar do cálculo do momento de inércia:

I = b h 3 12

I = 0,005 0,010 3 12 = 4,167.10 - 10   m 4

Nós vamo ter também que o coeficiente da mola é:

k = 2.10 3 N / m

Agora é só substituir

- x = - 0,4 3 ( 200.10 9 ) ( 4,167.10 - 10 ) + 2.10 3 x 0,2 3 3 ( 200.10 9 ) ( 4,167.10 - 10 )

- x = - 1,6.10 - 3 + 0,064 x

x = 1 , 5   m m

E a deflexão terá o mesmo valor e sentido para baixo:

y r e a l = - 1,5   m m

Resposta

y r e a l = - 1 , 5   m m

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Determine as reações em A e B . Considere que o apoio em A exerce somente um momento sobre a viga. E I é constante.
Um interruptor de relé é composto por uma tira fina de metal ou armadura AB feita de bronze vermelho C83400 que é atraída ao solenóide S por um campo magnético. Determine a menor força F exigida para
A estrutura é composta por uma viga em balanço CB e uma viga simplesmente apoiada AB. Se cada uma for feita de aço A-36 e tiver momento de inércia em torno de seu eixo principal I x = 46 × 10 6 m m 4
A viga e a haste de aço A-36 são usadas para suportar a carga de 40k N . Se for exigido que a tensão normal admissível para o aço seja σ a d m = 125M P a e a deflexão máxima não ultrapasse 1,25m m , d
Determine as reações nos apoios A , B e C ; a seguir, trace os diagramas de força cortante e momento fletor. E I é constante.