Teoria

Fala, galerinha!!

Hoje a gente vai bater um papo sobre o método da superposição aplicado de modo a achar as reações em vigas e eixos estaticamente indeterminados. Por exemplo o caso abaixo:

Se você tem nos acompanhado deve lembrar de um exercício parecido e que já resolvemos ele utilizando o método dos momentos de área onde utilizamos o diagrama M / E I . Mas agora eu te pergunto uma coisa, será que é realmente necessário sempre fazer esse diagrama para resolver problemas assim?

A resposta é NÃO! Não precisamos ficar toda hora achando os diagramas até porque isso é chato pra caramba não é verdade?

Então se liga que eu vou te ensinar um jeito boladão de resolver problemas sobre vigas e eixos estaticamente indeterminados.

Problema estaticamente indeterminado

Vamos utilizar o exemplo dado a cima e visualizar que se trata de um caso de hiperestaticidade, ou seja, estaticamente indeterminado. Isso porque temos mais incógnitas do que equações.

Para resolver isso a gente usa nossos conhecimentos sobre linha elástica que nos fornecerá o valor de uma incógnita, assim vamos ter o mesmo número de incógnitas e equações podendo pelas equações da estática normalmente =D

Separando as componentes

Agora vamos retirar um apoio e substituí-lo por uma força.

Galera, a gente só tem que lembrar de uma coisa: a nossa viga tem que continuar em equilíbrio então se a gente retirar o engaste teríamos de adicionar as duas forças correspondentes e o momento correspondente (por isso é mais prático retirar o apoio).

Quando a gente fala de linha elástica a gente pode fazer a superposição das deflexões que consiste em calcular a deflexão de cada componente separadamente e fazer uma simples soma algébrica entre eles.

y = y 1 + y 2

Relação entre as deflexões

Para cada carregamento diferente vamos fazer o cálculo da respectiva deflexão. Primeiro vou mostrar graficamente como fica e depois vamos achar os valores.

Reparem que no nosso exemplo a viga “real” exibida na extrema esquerda não possui deflexão em B , ou seja.

y = 0

Enquanto nas componentes separadas há uma deflexão para cima y 2 e outra para baixo y 1 . Dessa forma vamos ter que:

y 1 + y 2 = 0

y 1 = - y 2

Logo, a deflexão de uma é exatamente o oposto da outra!

Cálculo das deflexões

Pessoal, para calcular o valor de y 1 e y 2 nós podemos utilizar qualquer um dos métodos que são utilizados no calcula da linha elástica podendo ser: interação, momentos de área ou superposição. Sério, tanto faz!

Como tanto faz eu vou usar o método mais fácil que é a utilização da tabela!!! Essa tabelinha tem o nome de “inclinações e deflexões em vigas” e é encontrada em qualquer livro de resistência dos materiais. Abaixo está o que precisamos para o nosso problema.

Com isso vamos achar os valores:

y 1 = - 5 P L 3 48 E I

e

y 2 = P L 3 3 E I

Repara que y 2 ficou positivo porque a força B y está voltada para cima!

Substituindo os valores a gente vai achar:

y 1 = - 25 0 ( 3 ) 3 48 E I

e

y 2 = B y ( 3 ) 3 3 E I

Aplicar na equação que a gente achou que relaciona as deflexões:

y 1 = - y 2

- 2 50 3 3 48 E I = - B y ( 3 ) 3 3 E I

B y = 15,625   k N

Achamos o valor de uma das reações!!!

Achando as outras reações

Com o valor de B y podemos agora com a a estática podemos achar o resto!

A x = 0

A y = 50 - 15,625 = 34,675   k N

M 0 = 50 × 1,5 - 15,625 × 3 = 28,125   k N . m

Resumo

Logo, para que a gente possa utilizar o método da superposição temos de seguir o seguinte passo a passo:

  • Separar os componentes.
  • Achar a relação entre as deflexões a partir da geometria do problema.
  • Calcular o valor de cada deflexão individual com o método mais conveniente.
  • Aplicar a relação entre as deflexões para os valores encontrados.
  • Achar o valor de uma das reações.
  • Achar as outras reações pelas equações da estática.

Separando as componentes

Relação entre as deflexões

Cálculo das deflexões

Achando as outras reações

Resumo

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