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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.11 - Ex. 113

113. A haste uniforme de 640   m m possui uma massa de 3   k g e está soldada em seu centro ao disco circular uniforme com 160   m m de raio, que possui uma massa de 8   k g . A unidade recebe uma velocidade de giro p = 60   r a d / s no sentido mostrado. Observa-se que o eixo da haste oscila através de um ângulo total de 30 ° . Calcule a velocidade angular ψ ˙ de precessão e determine se é ψ 1 ˙ ou ψ 2 ˙ .

Passo 1

Primeiramente, vamos tratar de esboçar nosso sistema em relação a um eixo de coordenadas tridimensionais. O porquê de fazermos isso, é justamente o fato de verificar em relação a qual eixo estará nosso momento de inércia.

Com essa figura, já dá para perceber que devemos calcular os momentos de inércia em relação a dois eixos, para y , que chamaremos de I y y e para z , que chamaremos de I z z . Vamos aos cálculos.

Primeiramente vamos determinar o momento de inércia em relação ao eixo y , da haste e da roda respectivamente:

I y y   d i s c o = 1 4 m d i s c o ⋅ r d i s c o 2 I y y   h a s t e = 1 12 m h a s t e ⋅ l h a s t e 2

E substituindo os valores numéricos correspondentes, obtemos que:

I y y   d i s c o = 1 4 ( 8   k g ) ( 0,160   m ) 2 I y y   h a s t e = 1 12 ( 3   k g ) ( 0,64 0   m ) 2

I y y   d i s c o = 0,0512   k g ⋅ m 2 I y y   h a s t e = 0 , 1024   k g ⋅ m 2

Agora vamos determinar o momento de inércia em relação ao eixo z , da haste e da roda respectivamente:

I z z   d i s c o = 1 2 m d i s c o ⋅ r d i s c o 2 I z z   h a s t e = 0   k g ⋅ m 2

O momento de inércia da haste em relação ao eixo z , nós podemos aceitar zero, porque como precisaremos do raio da haste que obviamente a questão não fornece, iremos considera-lo desprezível. Voltando ao que interessa, vamos substituir os valores numéricos correspondentes nas nossas equações anteriores:

I z z   d i s c o = 1 2 ( 8   k g ) ( 0,160   m ) 2 I z z   h a s t e = 0   k g ⋅ m 2

I z z   d i s c o = 0,1024   k g ⋅ m 2 I z z   h a s t e = 0   k g ⋅ m 2

Passo 2

Obtidos os nossos momentos de inércia, bora tratar de usar a fórmula que relaciona a velocidade de precessão ψ ˙ , com o ângulo de giro θ e o próprio giro p . Ela tem a seguinte cara:

ψ ˙ = p I I 0 - I ⋅ cos ⁡ θ

E esses I 0 e I , felizmente nós já determinamos. I é o momento em relação ao eixo, em relação ao qual o nosso sistema está girando ou seja I z z   , e como a haste não gira em relação ao eixo y ,   I 0 só pode ser I y y . Bora então, calcular o valor dessa precessão com os valores que já conhecemos:

ψ ˙ = p ( I z z   d i s c o ) I y y   d i s c o + I y y   h a s t e - I z z   d i s c o ⋅ cos ⁡ θ

ψ ˙ = ( 60   r a d / s ) ( 0,1024   k g ⋅ m 2 ) 0,0512   k g ⋅ m 2 + 0,1024   k g ⋅ m 2 - 0,1024   k g ⋅ m 2 - 0 ⋅ cos ⁡ 15 °

ψ ˙ = ( 60   r a d / s ) ( 0,1024   k g ⋅ m 2 ) 0,0512   k g ⋅ m 2 ⋅ cos ⁡ 15 °

ψ ˙ = 124,2   r a d / s

Passo 3

E como saber se a precessão é direta ou retrógrada? Bom! Isso nós meio que praticamente já fizemos.

Sabemos que o valor de I 0 é dado por:

I 0 = I y y   d i s c o + I y y   h a s t e

I 0 = 0,0512   k g ⋅ m 2 + 0,1024   k g ⋅ m 2

I 0 = 0,1536   k g ⋅ m 2

E o valor de I é dado por:

I = I z z   d i s c o

I = 0,1024   k g ⋅ m 2

Com isso, tiramos que o valor de I 0 é maior que I . Isso implica que a precessão é direta, de modo que o único forma que seja satisfeita tal condição é que a precessão seja ψ 1 ˙ , com sentido de giro anti-horário.

Resposta

ψ ˙ = 124,2   r a d / s

C o m o   a   p r e c e s s ã o   é   d i r e t a ,   ψ ˙   é   ψ 1 ˙

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