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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.12 - Ex. 146

146. Desenvolva a Eq. 7 / 24 , relacionando as forças às acelerações para um elemento diferencial do anel fino de massa m . O anel possui uma velocidade angular constante p em torno do eixo z e recebe uma velocidade angular constante adicional de Ω em torno do eixo y por meio da aplicação de um momento externo M (não mostrado). (Sugestão: A aceleração do elemento na direção z é devido (a) à variação no módulo da componente de sua velocidade nessa direção em consequência de Ω e (b) à variação na direção da componente x de sua velocidade.

Passo 1

Bom, primeiro vamos esquematizar tudo que está acontecendo nessa situação:

Passo 2

Assumiremos que a x d m é a única força em d m que exerce um momento nos eixos x e y .

A aceleração na direção z devido à mudança de direção de v x será:

v x Ω = r Ω p ⋅ s e n ( φ )

A aceleração na direção z devido à mudança de magnetude de v z será:

- d d t r Ω ⋅ cos ⁡ φ = r Ω φ ˙ ⋅ s e n φ = r Ω p ⋅ s e n ( φ )

Portanto, a aceleração na direção z será:

a z = 2 r p Ω ⋅ s e n ( φ )

Passo 3

O momento M x que atua no eixo x será:

M x = ∫ r ⋅ s e n ( φ ) ( a x d m )

M x = ∫ r ⋅ s e n ( φ ) ( 2 r p Ω ⋅ s e n ( φ ) ) ( ρ r d φ )

M x = 2 ρ r 3 p Ω ∫ 0 2 π s e n φ 2 d φ

M x = 2 ρ r 3 p Ω 1 2 ( 2 π - s e n 2 π ⋅ cos ⁡ 2 π ) - 1 2 ( 0 - s e n 0 ⋅ cos ⁡ 0 )

M x = 2 ρ r 3 p Ω π

∴ M x = m r 2 p Ω = I Ω p   ( N / m )

Já o momento M y que atua no eixo y será:

M y = - ∫ r ⋅ c o s ( φ ) ( a x d m )

M y = ∫ r ⋅ c o s ( φ ) ( 2 r p Ω ⋅ s e n ( φ ) ) ( ρ r d φ )

M y = 2 ρ r 3 p Ω ∫ 0 2 π s e n φ ⋅ c o s ⁡ ( φ ) d φ

M y = 2 ρ r 3 p Ω - 1 2 ⋅ c o s ⁡ ( 2 π ) 2 - - 1 2 ⋅ c o s ⁡ ( 0 ) 2

M y = 2 ρ r 3 p Ω - 1 2 ⋅ 1 2 - - 1 2 ⋅ 1 2

M y = 2 ρ r 3 p Ω - 1 2 + 1 2

M y = 2 ρ r 3 p Ω ⋅ ( 0 )

M y = 0   N / m

Passo 4

O momento total M será dado por:

M = M x 2 + M y 2

M = I Ω p N ⋅ m 2 + 0     N ⋅ m 2

M = I Ω p 2   N ⋅ m 2 + 0 2   N ⋅ m 2

M = I Ω p 2   ( N ⋅ m ) 2

∴ M = I Ω p   N ⋅ m

Resposta

O momento fletor M será:

M = I Ω p   N ⋅ m

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