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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 13

13- Localize o centroide da área sombreada

Passo 1

Utilizando linhas horizontais para solucionar nosso problema teremos:

Onde o comprimento de x será de :

x = a (1 - (y^2)/(b^2))

E como a largura dessa linha é de d y , logo nossa área será de:

A = int a (1 - (y^2)/(b^2)) d y

Onde y varia de 0 até b .

A = (a)/(b^2) int_0^b (b^2 - y^2) d y

A = (a)/(b^2) [b^2 y - (y^3)/(3)]_0^b = (a)/(b^2) [b^3 - (b^3)/(3)] = (2 a b)/(3)

Passo 2

Para calcular overset(-)(x) e overset(-)(y) vamos fazer:

x_c = (x)/(2) y_c = (y)/(2)

Fazendo primeiro o cálculo de y :

int y_c y d y = int_0^b (1)/(2) y (a (1 - (y^2)/(b^2))) d y = (a)/(2 b^2) int_0^b y (b^2 - y^2) d y = (a)/(2 b^2) int_0^b (b^2 y - y^3) d y

Que será:

(a)/(2 b^2) [(b^2 y^2)/(2) - (y^4)/(4)]_0^b = (a)/(2 b^2) [(b^4)/(2) - (b^4)/(4)] = (a)/(2 b^2) [(b^4)/(4)] = (a b^2)/(8)

Logo overset(-)(y) será:

overset(-)(y) = ((a b^2)/(8))/((2 a b)/(3)) = (3 b)/(8)

Passo 3

Agora para x .

int x_c y d y = int_0^b (a)/(2) (1 - (y^2)/(b^2)) xx a (1 - (y^2)/(b^2)) d y = (a^2)/(2 b^4) int_0^b (b^2 - y^2)^2 d y

(a^2)/(2 b^4) int_0^b (b^4 - 2 b^2 y^2 + y^4) d y = (a^2)/(2 b^4) [b^4 y - (2 b^2 y^3)/(3) + (y^5)/(5)]_0^b

(a^2)/(2 b^4) [b^5 - (2)/(3) b^5 + (b^5)/(5)] = (a^2)/(2) [(8 b)/(15)] = (4 a^2 b)/(15)

Logo overset(-)(x) será:

overset(-)(x) = ((4 a^2 b)/(15))/((2 a b)/(3)) = (2)/(5) a

Resposta

(overset(-)(x) , overset(-)(y)) = ((2 a)/(5) . (3 b)/(8))

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