Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 20

20- Deixe que e → ∞ e determine as coordenadas x e y do centroide da área sombreada.

Passo 1

Se desenharmos uma linha vertical dentro dessa região veremos que ela terá um comprimento L de:

L = a e - b x

E como a largura dessa linha é d x logo sua área é de:

d A = a e - b x d x

Aplicando o intervalo de 0 até infinito temos a área total que é de:

A = lim c → ∞ ⁡ ∫ 0 c a e - b x d x

A integral dessa função é:

∫ a e - b x   d x

Se aplicarmos a substituição u = - b x teremos:

u = - b x

d u = - b   d x → d x = - d u b

- a b ∫ e u d u = - a b e u

Voltando para o domínio x teremos:

∫ a e - b x = - a b e - b x

Voltando para a nossa área teremos:

A = lim c → ∞ ⁡ - a b e - b x 0 c

Aplicando o intervalo:

A = lim c → ∞ ⁡ - a b e - b c - - a b e 0 = 0 + a b

Passo 2

Como fizemos pela linha horizontal logo o nosso x médio será o próprio eixo x e o y médio a média aritmética das duas funções, o que nos dá:

x m = x                             y m = 1 2 a e - b x

∫ x m   d A = lim c → ∞ ⁡ ∫ 0 c x a e - b x d x

Fazendo a integral por partes dessa função teremos:

u = x → d u = d x

d v = e - b x   → v = - 1 b e - b x

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

∫ x e - b x = - x b e - b x - ∫ - 1 b e - b x

∫ x e - b x = - x b e - b x - 1 b 2 e - b x

Aplicando esse resultado temos:

l i m c → ∞   a - x b e - b x - 1 b 2 e - b x 0 c

l i m c → ∞   - a x b e b x - a b 2 e b x 0 c

lim c → ∞ ⁡ - a c b e b c - a 2 b 2 e b c - 0 b e 0 - a b 2 e 0

Como:

lim c → ∞ ⁡ a c b e b c = ∞ ∞

Podemos fazer L’Hopital que vai dar:

lim c → ∞ ⁡ a b 2 e b c = 0

Logo:

∫ x m   d A = - 0 + 0 - 0 - a b 2 = a b 2

Passo 3

Agora para y temos:

∫ y m   d A = lim c → ∞ ⁡ ∫ 0 c 1 2 a e - b x a e - b x = lim c → ∞ ⁡ ∫ 0 c 1 2 a 2 e - 2 b x d x

Se substituirmos:

u = - 2 b x

d u = - 2 b   d x → d x = - d u 2 b

Se fizermos a integral imprópria dessa função teremos:

- 1 4 b ∫ a 2 e u d u = - a 2 4 b e u

Voltando ao domínio de x :

1 2 ∫ a 2 e - 2 b x d x = - a 2 4 b e - 2 b x

Logo:

∫ y m d A = lim c → ∞ ⁡ - a 2 4 b e - 2 b x 0 c

Aplicando o intervalo:

lim c → ∞ ⁡ - a 2 4 b e - 2 b c - - a 2 4 b e 0 = a 2 4 b

Passo 4

Calculando nosso centroide teremos:

x - = ∫ x m   d A ∫ d A = a b 2   a b = 1 b

y - = ∫ y m   d A ∫ d A = a 2 4 b a b = a 4

Resposta

x - , y - = 1 b , a 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o centróide ( x - , y - ) da area sombreada.
Localize o centroide y - do sólido homogêneo formado girando-se a área sombreada em torno do eixo y .
Localize o centroide z - do sólido homogêneo formado girando-se a área sombreada em torno do eixo z .
Determine o centróide ( x - , y - ) da area sombreada.
Determine a distância x - até o centro de massa da barra homogênea encurvada na forma mostrada. Se a barra tem uma massa por unidade de comprimento de 0,5k g / m determine as reações no apoio fixo O .