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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 14.Problemas de Revisão - Ex. 108

14.108. Um helicóptero A de 4.500 kg estava viajando para o leste em voo nivelado a uma velocidade de 120 km/h e uma altitude de 750 m quando foi atingido por um helicóptero B de 6.000 kg. Como resultado da colisão, ambos os helicópteros perderam suas sustentações e seus destroços caíram emaranhados no solo após 12 s em um ponto localizado a 450 m a leste e 115,2 m ao sul do ponto de impacto. Desprezando a resistência do ar, determine as componentes da velocidade do helicóptero B exatamente antes da colisão.

Passo 1

Vamos matar mais uma?

A primeira coisa que a gente tem que fazer é definir um sistema referencial. A gente pode imaginar que o eixo x representa a linha que vai de oeste para leste e y a linha que vai do sul para o norte. Consequentemente z vai ser a linha perpendicular a x e y .

Na hora da colisão podemos definir que a posição era

r i → = 0   i ^ + 0   j ^ + 750   k ^ m

E sua posição no chão é

r f → = 450   i ^ - 115,2   j ^ + 0   k ^ m

E as velocidades iniciais eram

v A → = 120   i ^ + 0   j ^ + 0   k ^ k m h  

Ou no SI

v A → = 33,333   i ^ + 0   j ^ + 0   k ^ k m h  

E

v B → = v B x i ^ + v B y j ^ + v B z k ^

Passo 2

Quando os helicópteros colidem, eles terão uma única massa e uma única velocidade, vamos chamar essa velocidade de v → = v x + v y + v z . A gente pode calcular a velocidade dessa massaroca que virou do impacto usando a função horária:

r f → = r i → + v i → ⋅ t + 1 2 a →   t 2

A aceleração é a gravidade

a → = g → = 0   i ^ + 0 j ^ - 9,81   k ^ m s  

Então

450   i ^ - 115,2   j ^ + 0   k ^ = 0   i ^ + 0   j ^ + 750   k ^ + v x + v y + v z 12 - 1 2 0   i ^ + 0 j ^ - 9,81   k ^ 12 2

Podemos resolver para uma componente de cada vez. Vamos começar com a componente i ^ :

450 = 0 + v x 12 + 0

Isso fica

v x = 37,5 m s

Para a componente j ^

- 115,2 = 0 + v y 12 + 0

Isso fica

v y = - 9,6 m s

E finalmente a componente k ^

0 = 750 + v z 12 - 1 2 9,81 ⋅ 12 2

Isso fica

v z = - 3,64 m s

Então

v → = 37,5   i ^ - 9,6   j ^ - 3,64   k ^ m s  

Passo 3

Agora que sabemos a velocidade imediatamente após a colisão, podemos usar conservação de momento linear.

∑ m v i = ∑ m v f

Isso fica

m A v A → + m B v B → = m A + m B v →

Então

4500 ( 33,333   i ^ + 0   j ^ + 0   k ^ + 6000 v B x i ^ + v B y j ^ + v B z k ^ = ( 4500 + 6000 ) 37,5   i ^ - 9,6   j ^ - 3,64   k ^

Podemos separar por componentes novamente para resolver isso. Para a componente i ^ :

4500 ⋅ 33,333 + 6000   v B x = 393750

Então

v B x = 40,625 m s = 146,25 k m h

Para a componente j ^ :

0 + 6000   v B y = - 100800

Então

v B y = - 16,8 m s = - 60,48 k m h

E finalmente a componente k ^ :

0 + 6000   v B z = - 38220

Então

v B z = - 6,37 m s = - 22,932 k m h

Então

v B → = 146,25   i ^ - 60,48   j ^ - 22,932   k ^ k m h  

Resposta

v B → = 146,25   i ^ - 60,48   j ^ - 22,932   k ^ k m h  

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