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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 14.Problemas de Revisão - Ex. 110

14.110. Um bloco de 9 kg parte do repouso e desce deslizando sobre a superfície inclinada de uma cunha A de 15 kg que está apoiada sobre uma superfície horizontal. Desprezando o atrito, determine (a) a velocidade do bloco B em relação à cunha A após ele ter deslizado 0,6 m sobre a superfície da cunha, (b) a velocidade correspondente da cunha.

Passo 1

Vamos matar mais uma?

Bom, no começo do movimento o sistema está em repouso, o que significa que o momento linear inicial é nulo, já no final do movimento tanto o A quanto B possui velocidade.

Podemos começar usando princípio impulso-momento:

E depois fica

Então

∑ m v 0 + ∑ F t = ∑ m v f

Passo 2

Vamos fazer separadamente para cada componente, para a componente x, temos

0 = m B v B A cos ⁡ 30 ° - m A v A - m B v A

Vamos isolar v A

0 = m B v B A cos ⁡ 30 ° - v A m A + m B

v A = m B cos ⁡ 30 ° m A + m B v B A

Substituindo os valores v A = 9 ⋅ cos ⁡ 30 ° 15 + 9 v B A = 0,32476   v B A

Passo 3

Agora podemos usar conservação de energia.

∑ T i + V i = ∑ T f + V f

Então

0 + m B g h = 1 2 m A v A 2 + 1 2 m B v B 2

Como podemos ver na figura

h = 0,6 ⋅ sin ⁡ 30 °

Se olharmos as velocidades podemos ver outro triangulo:

Disso tiramos

Basta mudar os vetores de lugar um pouquinho. Então, se usarmos o teorema dos cossenos:

v B 2 = v A 2 + v B A 2 - 2 v A v B A cos ⁡ 30 °

Então nossa equação fica:

m B g h = 1 2 m A v A 2 + 1 2 m B v A 2 + v B A 2 - 2 v A v B A cos ⁡ 30 °

Substituindo os valores que conhecemos

9 9,81 0,6 sin ⁡ 30 ° = 1 2 15 0,32476   v B A 2 + 1 2 9 [ 0,32476   v B A 2 + v B A 2 - 2 0,32476   v B A v B A cos ⁡ 30 °

Isso tudo aqui fica

26,87 = 3,2344 v B A 2

Logo

v B A = 2,86 m s

E como vemos na imagem, sua inclinação é - 30 ° em relação ao eixo x positivo.

E essa é a resposta do item (a).

Passo 4

Esse aqui vai ser rapidinho, porque lá no comecinho a gente já definiu uma expressão para v A , lembra?

v A = 0,32476   v B A

Então

v A = 0,32476 2,86 = 0,929 m s  

Mas como v A está para a esquerda, essa velocidade é negativa, então

v A = - 0,929 m s

Resposta

a v B A = 2,86 m s ; θ = - 30 ° b v A = - 0,929 m s

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