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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 76

Uma caixa deslizando encosta abaixo, como descrito pela equação y = ( 0.05 x 2 ) m, onde x é dado em metros. Se a caixa tem componentes x de velocidade e aceleração com v x = - 3 m / s e a x = - 1.5   m / s em x = 5 , determine as componentes y da velocidade e aceleração da caixa neste instante.

Passo 1

Podemos usar a regra da cadeia para derivar a equação da trajetória dada no enunciado e relacionar as componentes x e y da velocidade da caixa:

y = 0.05 x 2

y ˙ = 0.1 x x ̇

Ou podemos também escrever da seguinte forma:

v y = 0.1   x v x

Passo 2

Aplicamos os valores na equação encontrada no passo 1 para o caso de x = 5 m e

v x = - 3 m / s :

v y = 0.1 5 - 3 = - 1.5   m / s = 1.5   m / s ↓

Note que mudamos o sentido do vetor quando mudamos seu sinal.

Passo 3

Determinamos as componentes da aceleração da caixa calculando a segunda derivada da equação da trajetória usando a regra da cadeia:

y - = 0.1 x ˙ x ˙ + x x ̅ = 0.1 x ̇ 2 + x x ̅

Ou podemos escrever:

a y = 0.1 v x 2 + x a x

Passo 4

Aplicamos os valores na equação encontrada no passo 4 para o caso de x = 5 m e

v x = - 3 m / s :

a y = 0.1 - 3 2 + 5 - 1.5 = 0.15   m / s 2 ↑

Resposta

A componente y da velocidade é v y = 1.5   m / s ↓

A componente y da aceleração é a y = 0.15 m / s 2 ↑  

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