Enunciado

A velocidade de uma partícula é dada por v = 16 t 2 i + 4 t 3 j + 5 t + 2 k m/s, onde t é dado em segundos. Se a partícula está na origem quando t = 0 , determine a intensidade da aceleração da partícula quando t = 2 s . Também, qual é a posição da partícula em coordenadas x , y , z neste instante?

Passo 1

Aplicamos a seguinte equação para obter a aceleração expressa na forma de vetor cartesiano:

a = d v d t

Assim:

a = d v d t = 32 t i + 12 t 2 j + 5 k m / s 2

Passo 2

Quando t = 2 s, a = 32 2 i + 12 2 2 j + 5 k = 64 i + 48 j + 5 k m / s 2

A magnitude da aceleração é:

a = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 64 2 + 48 2 + 5 2 = 80.2 m / s 2

Passo 3

Podemos obter a posição expressa na forma de vetor cartesiano aplicando a equação:

d r = v   d t

∫ 0 r d r = ∫ 0 t 16 t 2 i + 4 t 3 j + 5 t + 2 k d t

r = 16 3 t 3 i + t 4 j + 5 2 t 2 + 2 t k d t

E quando t = 2 s ,

r = 16 3 ( 2 3 ) i + ( 2 4 ) j + 5 2 ( 2 2 ) + 2 ( 2 ) k = 42.7 i + 16.0 j + 14.0 k m

Resposta

As coordenadas da partícula são:

(42.7,16.0,14.0)m

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