Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 137
A posição de uma partícula é definida por , onde é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleração e o raio de curvatura da trajetória quando .
Passo 1
A posição da partícula é uma função vetorial . Para obtermos a função vetorial da velocidade e da aceleração, basta derivar em sequência. Além disto, é importante destacar que cada vetor é derivado separadamente! Sendo assim, basta fazermos:
Como estamos trabalhando com uma função vetorial, para obtermos a intensidade, basta tomarmos a sua norma!!! Já para obtermos o raio de curvatura, precisamos determinar qual é a intensidade da componente normal da aceleração. Se projetarmos o vetor aceleração na direção do vetor velocidade, conseguiremos a aceleração tangente. Depois, basta utilizarmos as equações da cinemática que estamos bastante acostumados!
Passo 2
Vamos obter a função da velocidade. Portanto,
Quando , teremos:
E a intensidade da velocidade vai ser dado pela norma do vetor. Sendo assim,
Passo 3
Fazendo o mesmo procedimento para a aceleração, temos:
Quando , temos:
E a intensidade da aceleração é dada por:
Passo 4
Vamos projetar o vetor aceleração na direção do vetor velocidade, a fim de obtermos a componente tangencial da aceleração. Lembrando lá da Geometria Analítica, temos:
Calculando a intensidade da aceleração tangencial, temos:
Agora, para calcularmos a componente normal, basta relembrarmos que:
Portanto,
Calculando o raio de curvatura,