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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.12 - Ex. 144

144. Cada uma das placas com o formato de um quadrante de círculo possui uma massa de 2   k g e está presa ao eixo vertical montado no mancal fixo em O . Calcule o módulo M do momento fletor no eico em O , para uma velocidade de rotação constante N = 300   r p m . Considere as placas como tendo a forma exata de um quadrante de círculo.

Passo 1

Bom, primeiro vamos definir como m sendo a massa de cada placa.

E depois vamos descobir a massa por unidade de área, lembrando que uma placa é um quarto de círculo:

δ = m π R 2 4

δ = 4 m π R 2

Passo 2

Para tamanhos infinitesimais de ângulo, massa e tamanho:

d m = 4 m π R 2 r d r d θ

Agora, calcularemos o momento de inércia I x z :

  I x z = ∫ x z d m

I x z = 4 m π R 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 R r ⋅ cos ⁡ θ ( x   m )   r   d r   d θ

I x z = 4 m π R 2 ∫ 0 π 2 ( R 3 - 0 3 ) ( x   m ⋅ c o s ⁡ ( θ ) )   3   d θ

I x z = 4 m π R 2 ∫ 0 π 2 R 3 ( x   m ⋅ c o s ⁡ ( θ ) )   3 d θ

I x z = 4 m π R 2 ( sen ⁡ π / 2 - s e n ⁡ ( 0 ) ) ( R 3 ⋅ x   m )   3

I x z = 4 m π R 2 ( 1 - 0 ) ( R 3 ⋅ x   m )   3

∴ I x z = 4 x m R 3 π   k g ⋅ m 2

E agora, o momento de inércia I y z :

  I y z = ∫ y z d m

I y z = 4 m π R 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 R - r ⋅ sen ⁡ θ ( x   m )   r   d r   d θ

I y z = - 4 m π R 2 ∫ 0 π 2 ( R 3 - 0 3 ) ( 0,150 x   m ⋅ s e n ⁡ ( θ ) )   3   d θ

I y z = - 4 m π R 2 ∫ 0 π 2 R 3 ( x   m ⋅ s e n ⁡ ( θ ) )   3 d θ

I y z = - 4 m π R 2 - ( cos ⁡ π / 2 - c o s ⁡ ( 0 ) ) ( R 3 ⋅ x   m )   3

I y z = - 4 m π R 2 - ( - 0 - 1 ) ( R 3 ⋅ x   m )   3

∴ I y z = - 4 x m R 3 π   k g ⋅ m 2

Aqui, x é a distância do ponto O até a placa em questão.

Passo 3

Para a placa superior:

I x z = - I y z = 4 ( 0,150   m ) ( 2   k g ) ( 0,150   m ) 3 π   k g ⋅ m 2

I x z = - I y z = 0,01910   k g ⋅ m 2

Já para a placa inferior, como a placa está na metade do caminho, em vez de 0,150   m , o valor de x será 0,075   m , portanto, é só dividir o momento de inércia achado para a placa superior por dois:

I x z = - I y z = 0,01910 2 = 0,00955   k g ⋅ m 2

Passo 4

Como não há rotação nos eixos x e y , então:

ω x = ω y = 0

E a velocidade angular dada no eixo z está em r p m , então temos que mudar para r a d / s :

ω z = 2 π ( 300   r p m ) 60 = 10   r a d / s

Como a rotação é constante, não aceleração, então:

ω ˙ x = ω ˙ y = ω ˙ z = 0   r a d / s 2

Passo 5

Como nós já temos as equações prontas:

∑ M x = I y z ω z 2

∑ M y = - I x z ω z 2

∑ M z = 0

Para M x , substituindo os valores:

M x = ( - 0,01910   k g ⋅ m 2 + 0,00955   k g ⋅ m 2 ) ( 10 π r a d / s ) 2

M x = ( - 0,00955   k g ⋅ m 2 ) ( 10 π r a d / s ) 2

∴ M x = - 9,42   N ⋅ m

Para M y , substituindo os valores:

M y = - ( 0,01910   k g ⋅ m 2 - 0,00955   k g ⋅ m 2 ) ( 125,7 r a d / s ) 2

M y = ( - 0,01910   k g ⋅ m 2 + 0,00955   k g ⋅ m 2 ) ( 125,7 r a d / s ) 2

∴ M y = - 9,42   N ⋅ m

Passo 6

O momento total M será dado por:

M = M x 2 + M y 2

M = - 9,42   N ⋅ m 2 + - 9,42   N ⋅ m 2

M = 88,7364   N ⋅ m 2 + 88,7364 N ⋅ m 2

M = 177,4728   ( N ⋅ m ) 2

∴ M = 13,32   N ⋅ m

Resposta

O momento fletor M será:

M = 13,32   N ⋅ m

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