Enunciado

15.145. No instante mostrado na figura, a barra AB gira com uma velocidade angular constante ω e uma aceleração angular α , ambas no sentido horário. Usando o método da Seção 15.9, deduza expressões para os componentes horizontal e vertical da velocidade e da aceleração do ponto D.

Passo 1

Vamos começar o exercício simplificando a imagem

Vamos colocar a origem do sistema no ponto A. E aí ficamos com o seguinte

x D = 3   l cos ⁡ θ

y C = l sin ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos derivar isso

x D ˙ = - 3 l θ ˙ sin ⁡ θ

E

y C ˙ = l θ ˙ cos ⁡ θ

E a segunda derivada fica

x D ¨ = - 3 l θ ¨ sin ⁡ θ - 3 l θ ˙ 2 cos ⁡ θ

E

y C ¨ = l θ ¨ cos ⁡ θ - l θ ˙ 2 sin ⁡ θ  

Continua nulo.

Mas temos algumas informações importantes agora. Sabemos que

θ ˙ = ω

θ ¨ = α

Também podemos perceber pela imagem que

v D x = x D ˙

v D y = y D ˙

E com o mesmo raciocínio

a D x = x D ¨

a D y = y D ¨

Passo 3

Agora podemos escrever as funções de velocidade

v D y = l ω cos ⁡ θ

E

v D x = - 3 l ω sin ⁡ θ

Por tanto

v → = - 3 l ω sin ⁡ θ i ^ + l ω cos ⁡ θ j ^

E da aceleração

a D y = l α cos ⁡ θ - ω 2 sin ⁡ θ

E

a D x = - 3 l α sin ⁡ θ + ω 2 cos ⁡ θ

Por tanto

a → = - 3 l α sin ⁡ θ + ω 2 cos ⁡ θ   i ^ + l α cos ⁡ θ - ω 2 sin ⁡ θ   j ^

Resposta

v → = - 3 l ω sin ⁡ θ i ^ + l ω cos ⁡ θ j ^

a → = - 3 l α sin ⁡ θ + ω 2 cos ⁡ θ   i ^ + l α cos ⁡ θ - ω 2 sin ⁡ θ   j ^

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