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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 19

19- Determine a coordenada y do centroide da área sombreada.

Passo 1

A reta que está em baixo da parábola tem os pontos ( 0,0 ) e b , b 2 logo a equação dessa reta será :

y = 1 2 x

Utilizando as linhas verticais para preencher a região, nós teremos linhas de comprimento igual a (pois ela vai da parábola até a reta), pegando o y de um e diminuindo pela outra:

L = x b -   1 2 x

Como a largura vale d x logo a área será:

d A = b   x - x 2 d x

Como x varia de 0 a b, teremos uma área igual a

A = ∫ 0 b b   x - x 2 d y = b 2 3   x 3 2 - x 2 4 0 b = 2 b 2 3 - b 2 4 = 5 b 2 12  

Passo 2

O y médio será a média aritmética das duas funções será :

y m = x 2 + b x 2

Logo a integral ∫ y m d x será:

∫ y m   d A = ∫ 0 b 1 2 x 2 + b x b x - x 2 d x = 1 2 ∫ 0 b b x - x 2 4 d x = 1 2 b x 2 2 - x 3 12 0 b

∫ y m   d A = 1 2 b 3 2 - b 3 12 = 5 b 3 24

Passo 3

Para calcular y - :

y - = ∫ y m   d A ∫ d A = 5 b 3 24 5 b 2 12 = b 2

Resposta

y - = b 2

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