Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 30
A placa de aço tem m de espessura e tem uma densidade de kg/m³. Determine a localização de seu centro de massa. Além disso, determine as reações horizontais e verticais no pino e a reação no apoio do rolete; Dica: A força normal em é perpendicular à tangente em , que é encontrada a partir de .
Passo 1
Vamos tomar nosso elemento diferencial como a área em cinza mostrada na figura:
Essa área é dada por:
Duas vezes já que temos a região do quadrante superior igual à do quadrante inferior.
Colocando nossa função em relação a temos, nosso fica:
Para o centroide do nosso elemento diferencial temos , enquanto que por simetria temos
Passo 2
Vamos encontrar nossa área:
Logo, o peso da placa pode ser obtido por:
Onde é o peso específico e a espessura dada no enunciado:
Passo 3
E agora encontramos nosso centroide :
Temos:
Logo, nosso fica:
Passo 4
Vamos agora encontrar as reações no pino e no rolete usando as equações de equilíbrio.
Sabemos que:
Adotando o sentido anti-horário positivo, temos aqui o rolete agindo no sentido anti-horário a uma distância de 2m do pino e o peso da placa no sentido horário com a distância encontrada do centroide.
Como o rolete está em um plano inclinado precisamos decompor a sua força sobre a placa. O exercício nos diz que a força normal em é perpendicular à tangente em , que é encontrada a partir de , vamos fazer isso:
Queremos isso para o ponto , logo:
Sabendo isso podemos decompor a normal em . Vamos então juntar nossos momentos em com as devidas forças e suas distâncias do pino:
Usamos agora o somatório de forças em para encontrar a reação no pino, temos aqui parte da normal de :
E por último agindo em temos o peso da placa e a outra parte da normal de :