19.111. Um pêndulo simples de comprimento l é suspenso de um cursor C que é forçado a mover-se horizontalmente de acordo com a relação x C = δ m sin ⁡ ω f t . Determine o intervalo de valores de f para o qual o movimento do peso seja menor que m. (Considere que m é pequeno comparado com o comprimento l do pêndulo.)

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 111

19.111. Um pêndulo simples de comprimento l é suspenso de um cursor C que é forçado a mover-se horizontalmente de acordo com a relação . Determine o intervalo de valores de f para o qual o movimento do peso seja menor que m. (Considere que m é pequeno comparado com o comprimento l do pêndulo.)

Passo 1

Vamos começar essa questão aqui fazendo uma equação para , que é a função posição da massa que está pendurada.

Olha só, na imagem a gente pode ver que

Isso é a mesma coisa que dizer que

Passo 2

Agora vamos fazer o diagrama de forças

A gente pode fazer uma malandragem no eixo vertical, olha só, como estamos falando de ângulos pequenos nesse problema, podemos dizer que o deslocamento no eixo é aproximadamente 0.

Isso traz algumas consequências interessantes para a gente, como aproximamos para um sistema onde não tem movimento no eixo , significa que a aceleração no eixo também é aproximadamente nula.

Agora com a segunda lei de Newton podemos fazer

Logo

E isso leva a uma consequência interessante para a gente

Em que

Só nos resta trabalhar com o eixo , que é o ponto chave da questão.

Com a segunda lei de Newton temos

Então a equação de movimento fica

E agora tudo vai começar a se encaixar, porque já tínhamos calculado um valor para

Então

Agora vamos substituir o valor de

A gente pode melhorar um pouquinho essa equação, primeiro vamos cortar

Agora vamos distribuir

Passo 3

Vamos pegar essa equação que a gente desenvolveu agora, e substituir o valor de que o enunciado nos dá

Agora as coisas vão começar a ficar interessantes, porque nós temos uma equação para a frequência natural

Isso é o mesmo que dizer

Agora vamos substituir isso na equação

Beleza, a gente já está chegando em algum lugar. A gente pode calcular a amplitude da vibração assim:

Isso é o mesmo que dizer que

E matematicamente, sabemos que

Claro, estamos considerando que

Então

Vamos considerar aqui que

Passo 4

Beleza, agora vamos focar na parte da expressão

Isso aqui é obrigatoriamente maior ou igual a , já que sabemos

Então

Aqui podemos já de imediato ver que existem dois valores para que a equação seja

Então, para ser valido a inequação

Os valores não podem estar no intervalo

Pois vamos pegar apenas os valores positivos, então não pode ser menor que zero.

Logo

Então

Resposta

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