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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 133

Em um jogo de sinuca, a bola A está rolando sem escorregar com uma velocidade Vo ao atingir obliquamente a bola B, que está em repouso. Denotando por r o raio de cada bola e por μ k o coeficiente de atrito cinético entre as bolas, e assumindo um impacto perfeitamente elástico, determine (a) a velocidade linear e angular de cada bola imediatamente após o impacto, (b) a velocidade ou bola .B depois de começar a rolar uniformemente.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a velocidade linear e angular de cada bola imediatamente após o impacto, (b) a velocidade ou bola .B depois de começar a rolar uniformemente.

Momento de Inércia é dado por:

I - = 2 5 m r 2

Passo 2

(a) análise de impacto

Bola A

Sist Momenta1 + Sist Ext Imp 1 → 2 = Sist Momenta 2

Cinemática da rolagem: ω 0 = v 0 r

+ → Componentes Lineares m v 0 c o s ⁡ θ - ∫ P d t = n t v A x (1)

+ ↑ Componentes Lineares m v 0 s i n ⁡ θ + 0 = m v A y (2)

Momento sobre eixo y I - a 0 c o s ⁡ θ + 0 = I - ω A cos ⁡ β (3)

Momento sobre eixo X - I - ω 0 s i n ⁡ θ + 0 = - I - ω A s i n ⁡ β (4)

Passo 3

Bola B

Sist Momenta1 + Sist Ext Imp 1 → 2 = Sist Momenta 2

+ → C o m p o n e n t e s   L i n e a r e s   0 + ∫ P d t = m v B x (5)

+ ↑ Componentes Lineares 0 + 0 = m v B y (6)

Momento sobre eixo y 0 + 0 = I - ω B c o s ⁡ γ (7)

Momento sobre eixo X 0 + 0 = I → ω B s i n ⁡ γ (8)

Passo 4

Adicione eq (1) e (5) para eliminar ∫ P d t

m v 0 c o s ⁡ θ + 0 = m v A x + m v B x

Ou v B x + y A x = v 0 c o s ⁡ θ (9)

Condição de Impacto e = 1 v B x - v A x = e v 0 c o s ⁡ θ = v 0 c o s ⁡ θ (10)

Resolvendo Eq (9) e (10) simultaneamente

v A x = 0 , v B x = v 0 c o s ⁡ θ

Equações (2) e (6) v A y = v 0 s i n ⁡ θ , v b y = 0

v A = v 0 s i n ⁡ θ j

v B = v 0 c o s ⁡ θ i

Equação (3) e (4) simultaneamente

β = θ , ω A = ω 0 = v 0 r

ω A = v 0 r ( - s i n ⁡ θ i + c o s ⁡ θ j )

Equações (7) e (8) simultaneamente

ω B = 0

ω B = 0

Passo 5

(b) movimento subsequente da bola B

Sist Momenta1 + Sist Ext Imp 1 → 2 = Sist Momenta 2

Cinemática de rolar sem deslizar v B ' = r ω B '

m v B r + 0 = I - ω B ' + m v B ' r = 2 5 m r 2 ω B ' + m r ω B ' r

ω B ' = 5 v B ' 7 = 5 v 1 cos ⁡ θ 7

v B ' = 5 7 v 1 s c o s ⁡ θ

v B ' = 5 7 v 0 c o s ⁡ θ i

Resposta

(a)   ω B = 0

(b)   v B ' = 5 7 v 0 c o s ⁡ θ i

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