Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 112
19.112. Um peso de 1,2 kg de um pêndulo simples de comprimento l 600 mm é suspenso de um cursor C de 1,4 kg. O cursor que é forçado a mover- -se horizontalmente de acordo com a relação xC m sen f t, com uma amplitude m 10 mm e uma frequência ff 0,5 Hz. Determine (a) a amplitude do movimento do pêndulo, (b) a força que deve ser aplicada ao cursor C para manter o movimento.
Passo 1
Vamos começar essa questão aqui fazendo uma equação para , que é a função posição da massa que está pendurada.
Olha só, na imagem a gente pode ver que
Isso é a mesma coisa que dizer que
Passo 2
Agora vamos fazer o diagrama de forças
A gente pode fazer uma malandragem no eixo vertical, olha só, como estamos falando de ângulos pequenos nesse problema, podemos dizer que o deslocamento no eixo é aproximadamente 0.
Isso traz algumas consequências interessantes para a gente, como aproximamos para um sistema onde não tem movimento no eixo , significa que a aceleração no eixo também é aproximadamente nula.
Agora com a segunda lei de Newton podemos fazer
Logo
E isso leva a uma consequência interessante para a gente
Em que
Só nos resta trabalhar com o eixo , que é o ponto chave da questão.
Com a segunda lei de Newton temos
Então a equação de movimento fica
E agora tudo vai começar a se encaixar, porque já tínhamos calculado um valor para
Então
Agora vamos substituir o valor de
A gente pode melhorar um pouquinho essa equação, primeiro vamos cortar
Agora vamos distribuir
Passo 3
Vamos pegar essa equação que a gente desenvolveu agora, e substituir o valor de que o enunciado nos dá
Agora as coisas vão começar a ficar interessantes, porque nós temos uma equação para a frequência natural
Isso é o mesmo que dizer
Agora vamos substituir isso na equação
Beleza, a gente já está chegando em algum lugar. A gente pode calcular a amplitude da vibração assim:
O interessante aqui é que sabemos expressões para e .
E
Então
Agora é só substituir os valores que conhecemos, o enunciado nos dá , e , então
Ou então
E assim respondemos o item (a).
Passo 4
Agora vamos para o item (b). Agora temos que fazer o diagrama de forças no cursor .
O cursor não se movimenta em , portanto
Logo
Mas o que vai nos interessar aqui é o eixo
Pela segunda lei de Newton
Vamos recuperar alguns resultados do item (a).
Então temos
Passo 5
A única coisa que não sabemos na equação é ,mas podemos calcular isso derivando .
Isso fica
Agora é só derivar mais uma vez
Agora podemos descobrir o valor de .
Calma, a equação não é tão difícil quanto parece. Vamos dar uma simplificada
Sabemos que
Então
Logo
Agora é só substituir o valor de tudo.
Isso tudo fica
Então