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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 115

19.115. Um motor de 200 kg é suportado por molas que têm um constante total de 240 kN/m. O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de 30 g localizada a 200 mm do eixo de rotação. Determine o intervalo de valores admissíveis da velocidade do motor se a amplitude da vibração não exceder 1,5 mm.

Passo 1

Vamos para mais um problema! Já vou adiantando para você que nesse problema a gente vai usar uma equação que a gente derivou lá no problema 19.113:

x m = r m M ω f 2 ω n 2 1 - ω f ω n 2

Se quiser pode dar uma olhadinha lá antes que a gente comece esse problema aqui.

Passo 2

Para começar, podemos separar as informações que o enunciado nos dá antes de começar a resolver as contas.

M = 200   k g k = 240 k N m = 240000 N m m = 30   g = 0,03   k g r = 200   m m = 0,2   m

Com esses valores podemos derivar o valor da frequência natural:

ω n 2 = k M = 240 000 200 = 12 00 r a d 2 s 2

E a gente também sabe que não podemos exceder a amplitude de 1,5   m m . Aqui podemos dizer que

x m < 1,5   m m

Isso é

x m < 1,5 ⋅ 10 - 3   m

Passo 3

Beleza, temos tudo para substituir na equação, mas antes de substituir, é interessante a gente isolar ω f , pois é o único valor que não sabemos.

Quando o motor está em fase:

x m > r m M ω f 2 ω n 2 1 - ω f ω n 2

Isso é o mesmo que:

1 - ω f ω n 2 < r m M ω f 2 ω n 2 x m

Então

1 - 1 ω f 2 ω n 2 < r m M x m

Logo

1 ω f 2 ω n 2 > 1 - r m M x m

Agora a gente inverte tudo

ω f 2 ω n 2 < 1 1 - r m M x m

Agora é só passar ω n 2

ω f 2 < ω n 2 1 - r m M x m

Por fim

ω f < ω n 2 1 - r m M x m

Agora podemos substituir os valores

ω f < 1200 1 - 0,02 0,03 200 1,5 ⋅ 10 - 3

Resolvendo tudo isso aqui a gente tem:

ω f < 35   r a d s

Ou

ω f < 335   r p m

Passo 4

Quando o motor está fora de fase podemos fazer

x m > r m M ω f 2 ω n 2 ω f ω n 2 - 1

Isso vai ficar

ω f > ω n 2 r m M x m + 1

Substituindo os valores

ω f > 1200 0,02 0,03 200 1,5 ⋅ 10 - 3 + 1

Isso fica

ω f > 34,3 r a d s

Ou

ω f > 328   r p m

Resposta

ω f < 335   r p m

ω f > 328   r p m

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