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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.6 - Ex. 158

2/158) Num determinado instante , uma partícula tem as seguintes componentes de posição , velocidade , e aceleração em relação a um sistema fixo de coordenadas x - y : x = 4 m

, y = 2 m , x ' = 2 3   m / s , y ' = - 2 m / s , x ” = - 5 m / s 2 , y " = 5 m / s ^ 2   . Determine as seguintes propriedades associadas a coordenadas polares : θ , θ ' , θ " , r , r '   e   r " . Desenhe a geometria da sua solução á medida que avançar .

Passo 1

Bom galera , separando os dados que já possuímos , temos que :

x = 4   m   , y = 2 m  

x ' = 2 3 m s   , y ' = - 2   m / s

x " = - 5   m / s 2   , y " = 5   m / s 2  

A distância da partícula a origem é dada por :

r = x 2 + y 2 = 2 5   m

O ângulo , por sua vez, é dado por :

θ = tan - 1 ⁡ y x = 26,6 °

Passo 2

Agora basta aplicarmos as relações que conhecemos para acharmos o que nos é pedido :

α = tan - 1 ⁡ v y v x + θ = tan - 1 ⁡ 2 2 3 + 26,6 ° = 56,6 °

β = tan - 1 ⁡ a y a x + θ = tan - 1 ⁡ 5 5 + 26,6 ° = 71,6 °

v = v y 2 + v x 2 = 2 2 + 2 3 2 = 4 m / s

a = a y 2 + a x 2 = 5 2 + 5 2 = 7,07 m s 2

r ' = v r = v cos ⁡ α = 4 cos ⁡ 56,6 °   = 2,2   m / s

v 0 =   - v sen ⁡ α = - 4 sen ⁡ 56,6 ° = - 3,34   m / s

v θ =   r θ ' :   - 3,34 = 2 5   θ ' , θ ' = - 0 , 746   r a d / s

a r =   - acos ⁡ β =   - 7,07 cos ⁡ 71,6 ° =   - 2,24   m / s 2

a r = r -r θ '2  : -2,24=r - 2 5 0,746 2   , r " = 0 , 255   m / s 2  

a θ = a sen ⁡ β = 7,07 sen ⁡ 71,6 ° = 6,71   m / s 2

a θ = r θ +2r' θ ' :6,71=2√5  θ + 2 2,2 - 0,746 , θ " = 2,24   r a d / s 2  

Resposta

r = x 2 + y 2 = 2 5   m

θ = tan - 1 ⁡ y x = 26,6 °

r ' = 2,2   m / s

θ ' = - 0,746   r a d / s

r " = 0,255   m / s 2  

θ " = 2,24   r a d / s 2  

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