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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 22

22- Determine a coordenada y do centroide da área sombreada.

Passo 1

Pelas limitações verticais que a função tem é melhor traçarmos linhas verticais de modo a preencher toda a função e com isso calcularmos sua área. As linhas verticais tem comprimento que variam da reta até a parábola horizontal. Basta sabermos qual a equação que essa reta tem:

Essa reta passa pelos pontos ( 0 , b ) e ( a , 2 b ) .

A equação da reta será y = m x + c .

Para o ponto ( 0 , b ) .

b = c

Para o ponto ( a , 2 b ) .

2 b = m a + b

b a = m

Logo a reta será:

y = b a x + b

E como estamos fazendo linhas verticais dentro da sua região logo precisamos diminuir o y de um com o y do outro, e o y da parábola será:

y = x k

Onde o k da parábola pode ser calculado aplicando o ponto ( a , b ) .

a = k 4 b 2 → k = a b 2

Logo a nossa função parábola em relação a x será:

y = x a b 2 = b x a

Passo 2

O comprimento vertical dessa linha será a distância entre a reta e a parábola:

L = b a x + b - b x a

E como a largura dessa linha vale d x e x varia de 0 até a. A área vale:

A = ∫ 0 a b a x + b - b a x 1 2 d x = b 2 a x 2 + b x - 2 b 3 a x 3 2 0 a

Aplicando o intervalo:

A = a b 2 + a b - 2 a b 3 = 5 a b 6

Passo 3

Para encontrarmos y - precisamos saber seu y médio e para isso precisamos somente fazer a média aritmética das funções nas quais a reta está entre.Logo

y m = b a x + b + b a x 1 2 2

E além disso fazer a integral ∫ y m   d A

∫ y m d A = 1 2 ∫ 0 a b a x + b + b a x 1 2 b a x + b - b a x 1 2 d x

1 2 ∫ 0 a b a x + b 2 - b 2 a x d x = 1 2 ∫ 0 a b 2 a 2 x 2 + 2 b 2 a x + b 2 - b 2 a x

1 2 b 2 3 a 2 x 3 + x 2 b 2 a + b 2 x - x 2 b 2 2 a 0 a = 1 2 a b 2 3 + a b 2 + a b 2 - a b 2 2 = 11 12 a b 2

Agora calculando y - teremos:

y - = ∫ y m d A ∫ d A = 11 12 a b 2 5 a b 6 = 11 b 10

Resposta

y - = 11 b 10

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