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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 25

25- Determine as coordenadas x e y do centroide da área sombreada.

Passo 1

Fazendo a área por linhas verticais dentro da região assinalada sabemos que as linhas estarão entre as funções que vão da elipse até a reta. Cabe isolar o y para a elipse e encontrar a equação dessa reta.

Elipse:

y 2 b 2 = 1 - x 2 a 2

y 2 = b 2 - b 2 a 2   x 2

y = b 2 - b 2 a 2 x 2

y = b 1 - x 2 a 2

E a reta possui os pontos ( a , 0 ) e 0 , b / 2 :

Por y = m x + b vemos que a reta que passa pelos dois pontos será:

y = b 2 - x a + 1

Passo 2

Fazendo por linhas verticais temos que o comprimento dessa linha (que vai da elipse até a reta) será:

L = b 1 - x 2 a 2 - b 2 - x a + 1

Como a largura dessa linha é d x , logo sua área será de:

d A = b 1 - x 2 a 2 - b 2 - x a + 1 d x

d A = b a 2 a 2 - x 2 a 2 - b 2 - x a + 1

d A = b a a 2 - x 2 - b 2 - x a + 1 d x

No apêndice C, página 349 vemos que:

∫ a 2 - x 2 d x = 1 2 x   a 2 - x 2 + a 2 s e n - 1 x a

Logo se integrarmos de 0 até a , que onde x varia nós teremos:

A = ∫ 0 a b a a 2 - x 2 - b 2 - x a + 1 d x = b 2 a x a 2 - x 2 + a 2 s e n - 1 x a 0 a - b 2 - x 2 2 a + x 0 a  

Substituindo o intervalo teremos:

b 2 a a 0 + a 2 s e n - 1 1 - 0 - b 2 - a 2 + a = b 2 a a 2 π 2 + a b 4 - a b 2 = a b π 4 - a b 4 = a b 4 ( π - 1 )

Passo 3

Se preocupando em encontrar x - , primeiramente precisamos saber que por estar analisando linhas verticais de que seu x médio será no próprio eixo x .

x m = x

Logo fazendo ∫ x m   d A teremos:

∫ x m   d A = ∫ 0 a x b a a 2 - x 2 - b 2 - x a + 1 d x

O que nos dá:

b a ∫ 0 a x a 2 - x 2   d x - b 2 ∫ 0 a - x 2 a + x d x

Na primeira integral precisamos substituir a 2 - x 2 = u para encontrar d u = - 2 x   d x , o que fica:

∫ x a 2 - x 2   d x = - 1 2 ∫ u = - 1 2 2 3   u 3 2 = - 1 3 u 3 2 = - 1 3 a 2 - x 2 3 2

Logo nosso resultado fica:

b a - 1 3 a 2 - x 2 3 2 0 a - b 2 - x 3 3 a + x 2 2 0 a

b a - 1 3 0 3 2 + 1 3 a 3 - b 2 - a 3 3 a + a 2 2 = a 2 b 3 + a 2 b 6 - a 2 b 4 = a 2 b 4

Logo x - será:

x - = ∫ x m   d A ∫ d A = a 2 b 4 a b 4 ( π - 1 ) = a π - 1

Passo 4

Agora para encontrar y - , temos que saber que o y médio será a média aritmética das duas funções, assim sendo:

y m = b 1 - x 2 a 2 + b 2 - x a + 1 2

Logo nossa ∫ y m   d A será:

∫ y m   d A = 1 2 ∫ 0 a b 1 - x 2 a 2 - b 2 - x a + 1 × b 1 - x 2 a 2 + b 2 - x a + 1 d x

Fazendo esse produto notável teremos:

∫ y m   d A = 1 2 ∫ 0 a b 2 1 - x 2 a 2 - b 2 4 - x a + 1 2   d x

1 2 ∫ 0 a b 2 1 - x 2 a 2 - b 2 4 x 2 a 2 - 2 x a + 1   d x

O que nos dá uma expressão:

∫ y m   d A = 1 2 ∫ 0 a b 2 - b 2 a 2   x 2 - b 2 4 a 2 x 2 + b 2 2 a   x - b 2 4 d x

1 2 ∫ 0 a - 5 b 2 4 a 2   x 2 + b 2 2 a   x + 3 4 b 2 d x

1 2 - 5 b 2 12 a 2   x 3 + b 2 4 a   x 2 + 3 4 b 2 x 0 a = 1 2 - 5 b 2 12 a 2 a 3 + b 2 4 a a 2 + 3 4 a b 2 = - 5 b 2 a 24 + a b 2 8 + 3 a b 2 8 = 7 a b 2 24

Fazendo agora y - :

y - = ∫ y m   d A ∫ d A = 7 a b 2 24 a b 4 ( π - 1 ) = 7 b 6 ( π - 1 )

Resposta

x - , y - = a π - 1 , 7 b 6 ( π - 1 )

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Calcule o centroide da área a seguir:
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