Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 28
28. Para a haste do problema , determine a intensidade e a localização do momento fletor máximo:
Passo 1
Bom, vamos lá tratar de resolver esse probleminha. Baseado no que já sabemos, qual é a primeira coisa que temos que fazer para dar inicío à solução do nosso exercício?
É isso mesmo que você está pensando! Bora tratar de fazer o diagrama de corpo livre para a nossa haste, tratando de representar todas as forças possíveis:
Feito essa belezinha de desenho, vamos agora analisar as forças e momentos presentes no nosso sistema. Para isso, temos que recorrer a uma ferramenta que com certeza, você já está cansado de saber, o somatório das forças em e e também de momento.
Diferentemente do problema anterior, vamos tentar resolver esse problema partindo do ponto , que vai nos permitir trabalhar com apenas uma força, atuando em . E para isso, façamos o somatórios dos momentos em relação a esse ponto:
Passo 2
Como já obtemos o valor da força atuante no ponto , olha só a próxima coisa que temos que fazer. Vamos separar uma pequena seção do elemento , indo do ponto até um ponto qualquer que chamaremos de . Neste elemento é que vamos poder encontrar o esforço cortante e momento fletor, como representado na imagem abaixo:
Repara só na imagem! O ângulo do problema é representado como o dobro de :
E de problemas anteriores, estamos carecas de saber que:
Só que como é o peso total do elemento , uma vez que estamos trabalhando apenas com uma seção desse elemento, temos que essa seção vai ser proporcional ao ângulo que temos, de acordo com a seguinte relação:
Passo 3
Agora, olhemos novamente a figura do :
Tá vendo esse eixo aí!! Esse é o eixo da direção tangencial. Vamos fazer o somatório de todas as forças nessa direção e então, obter o valor da força :
E como já sabemos o valor de ; para descobrir o quanto vale o momento fletor, vamos fazer o somatório dos momentos em relação ao ponto :
Só que:
O que nos leva à:
Essa é a nossa expressão final do momento fletor! Coisinha mais complicada, não!? Bom! Lembra lá do Cálculo , a ferramenta que a gente usa para achar o ponto onde determinada expressão adquire valor máximo.
Isso aí mesmo que você está pensando! Temos que tirar a primeira derivada dessa expressãozinha aí do momento e igualá-la a zero. Desse jeito, encontraremos nossa resposta:
E tá na cara que isso aí vai valer zero, quando:
A expansão por série da tangente de , para ângulos muito pequenos é dada por:
Vamos substituir essa nova relaçãozinha que descobrimos, na fórmula anterior e resolver tudo como se fosse uma equação polinomial:
Essa belezura daí de cima é uma equação do grau. Vai dar um certo trabalhindo pra resolvê-la, já que por ser de um grau alto, o objetivo aqui é resolvê-la como se fosse uma equação de um grau mais baixo. Bora lá! Vamos substituir o da fórmula por uma letra :
Pronto! Ficamos com uma equação de grau. Vamos tratar de resolvê-la:
E como sabemos que as raízes de uma equação do segundo grau, são dadas por:
Nós só queremos o valor positivo. Primeiro, porque a fórmula da expansão trabalha com valores pequenos; segundo, porque o é igual a . Só isso, já nos faz rejeitar qualquer valor negativo.
Voltando ao que interessa! Se:
Então, chegamos à seguinte igualdade:
E o valor de , para esse resultado é:
Ahhh! E antes que alguém pergunte o porquê do nosso resultado dar negativo, isto ocorre simplesmente devido ao fato de que o momento fletor vai estar no sentido oposto ao adotado pela nossa convenção, ou seja, no sentido horário.
O fato é que o nosso momento máximo, , é dado por: