Enunciado

Para a estrutura e carregamento mostrados na figura, determine as reações A e E quando (a) α = 30 ° e (b) α = 45 ° .

Passo 1

Bom galera, o segredo da questão é notar que o corpo está em equilíbrio, então o somatório dos momentos é nulo. Para fazer o somatório dos momentos no ponto A, vamos começar decomponto a reação de apoio no ponto E.

A reação em E é perpendicular ao plano em que a rodinha está apoiada, ou seja, ela faz um ângulo α com a vertical. Então as componentes vão ser:

E x = E ∙ s e n ( α )

E y = E ∙ c o s ( α )

Então, no ponto A, temos:

∑ M A = - 20 ∙ 10 - 20 ∙ 3 + E x ∙ 3 + 5 + E y ∙ 10 + 3 - 8 = 0

∑ M A = - 20 ∙ 10 - 20 ∙ 3 + E ∙ s e n ( α ) ∙ 3 + 5 + E ∙ c o s ( α ) ∙ 10 + 3 - 8 = 0

Com isso, a gente já consegue achar uma expressão pra calcular a reação E, em função do ângulo:

E ∙ 8 ∙ s e n   α + 5 ∙ cos ⁡ α = 260

E = 260 8 ∙ s e n   α + 5 ∙ cos ⁡ α

Já as reações em A a gente pode achar fazendo o somatório de forças verticais e horizontais:

∑ F x = A x - 20 + E ∙ s e n α = 0

∑ F y = A y - 20 + E ∙ c o s α = 0

Logo:

A x = 20 - E ∙ s e n α

A y = 20 - E ∙ c o s α

A = A x 2 + A y 2

Pessoal, foi bom a gente ter resolvido o exercício de forma assim literal, em função de alpha, porque agora a gente já tem essas expressões prontas pros itens a e b. E é só substituir o valor do ângulo.

Passo 2

Para o item a, α = 30 °

E = 260 8 ∙ s e n   α + 5 ∙ cos ⁡ α = 260 8 ∙ s e n   30 ° + 5 ∙ cos ⁡ 30 ° = 31,212   l b

A x = 20 - E ∙ s e n α = 20 - 31,212   ∙ s e n 30 ° = 4,39   l b

A y = 20 - E ∙ c o s α = 20 - 31,212   ∙ c o s 30 ° = - 7,03   l b

A = A x 2 + A y 2 = 4,39 2 + 7,03 2 = 8,29   l b

Passo 3

Para o item a, α = 45 °

E = 260 8 ∙ s e n   α + 5 ∙ cos ⁡ α = 260 8 ∙ s e n   45 ° + 5 ∙ cos ⁡ 45 ° = 28,28 427   l b

A x = 20 - E ∙ s e n α = 20 - 28,28 427 ∙ s e n 45 ° = 0

A y = 20 - E ∙ c o s α = 20 - 28,28 427 ∙ c o s 45 ° = 0

Resposta

Quando α = 30 °

E = 31,212   l b

A = 8,29   l b

Quando α = 45 °

E = 28,28427   l b

A = 0

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