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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 38

38. Se a amplitude do oitavo ciclo de um oscilador linear com amortecimento viscoso é dezesseis vezes a amplitude do vigésimo ciclo, calcule o fator de amortecimento ξ .

Passo 1

Bom! A razão entre as duas amplitudes que chamaremos de x 8 e x 20 , separadas de 12 ciclos, é dada pela seguinte relação abaixo:

x 8 x 20 = C e - ξ ω n t 8 C e - ξ ω n ( t 8 + 12 τ d )

x 8 x 20 = e - ξ ω n t 8 e - ξ ω n ( t 8 + 12 τ d )

x 8 x 20 = e - ξ ω n t 8 + ξ ω n ( t 8 + 12 τ d )

x 8 x 20 = e ξ ω n 12 τ d

E também não podemos esquecer do decremento logarítmico δ n , cuja fórmula em razão das amplitudes separadas de N ciclos, tem a seguinte aparência:

δ n = l n x 8 x 20  

δ n = l n e ξ ω n 12 τ d

δ n = ξ ω n 12 τ d  

Passo 2

Obtida uma nova expressão para o decremento logarítmico δ , bora tratar de lembrar da fórmula da frequência amortecida τ d , que tem a cara abaixo:

τ d = 2 π ω n 1 - ξ 2

τ d ω n = 2 π 1 - ξ 2

Então, reescrevemos ( δ n = ξ ω n 12 τ d ) como:

δ n = ξ 12 2 π 1 - ξ 2

δ n = 24 π ξ 1 - ξ 2

Só que a própria questão nos fala que a amplitude do oitavo ciclo e dezesseis vezes a amplitude do vigésimo ciclo e como sabemos que:

δ n = l n x 8 x 20

Então, ficamos com:

24 π ξ 1 - ξ 2 = l n 16

E por fim, elevamos os dois lados da equação ao quadrado:

24 π ξ 1 - ξ 2 = l n 16

  24 π ξ 1 - ξ 2 2 = ( l n 16 ) 2

576 π 2 ξ 2 = 7,69 ( 1 - ξ 2 )

576 π 2 ξ 2 + 7,69 ξ 2 = 7,69

ξ = 7,69 576 π 2 + 7,69

ξ ≃ 0,0367

Resposta

ξ ≃ 0,0367

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