42. A massa de um determinado sistema criticamente amortecido é liberada no instante de tempo t = 0 a partir da posição x 0 > 0 com uma velocidade inicial negativa. Determine o valor crítico ( x 0 ˙ ) c abaixo do qual a massa ultrapassará a posição de equilíbrio.

Passo 1

A equação de posição o movimento criticamente amortecido, é dada por:

x = ( A 1 + A 2 t ) e - ω n t

O valor de A 1 nós já temos, que é a posição inicial x 0 que o corpo é liberado. Vamos então derivar x para ver se podemos arranjar alguma coisa com a expressão da velocidade que dela advém:

x = ( A 1 + A 2 t ) e - ω n t

x ˙ = A 2 e - ω n t - ω n ( A 1 + A 2 t ) e - ω n t

x ˙ = [ A 2 - ω n ( A 1 + A 2 t ) ] e - ω n t

Só que quando o corpo é liberado em t = 0 , a velocidade é igual a x 0 ˙ . Logo, x ˙   nesse instante de tempo, vale x 0 ˙ , o que nos leva à:

A 2 - ω n ( A 1 + A 2 t ) = x 0 ˙

A 2 - ω n ( A 1 + A 2 ⋅ 0 ) = x 0 ˙

A 2 - ω n A 1 = x 0 ˙

A 2 = x 0 ˙ + ω n A 1

Mas A 1 = x 0 . Ou seja, ficamos com:

A 2 = x 0 ˙ + ω n x 0

Passo 2

Obtida uma nova expressão para A 2 , vamos tratar de substituí-la na nossa equação de posição:

x = ( A 1 + A 2 t ) e - ω n t

x = [ A 1 + ( x 0 ˙ + ω n x 0 ) t ] e - ω n t

Uma das condições que a nossa questão determina é que a velocidade inicial é negativa! Ora bolas! Se a velocidade é negativa, isso quer dizer que x vai ser negativo. E para x ser negativo, só há uma opção.

Isso mesmo! A expressão ( x 0 ˙ + ω n A 1 ) tem que ser menor do que zero:

x 0 ˙ + ω n x 0 < 0

x 0 ˙ < - ω n x 0

Passo 3

Agora para um pouco para pensar, no conceito da palavra " c r í t i c o " , nesse contexto em que x 0 ˙ < - ω n x 0   . Não é certo dizer que o valor crítico pra esse caso é o valor máximo que x 0 ˙ pode assumir?

E qual é esse valor? É isso mesmo que você está pensando! O nosso valor crítico ( x 0 ˙ ) c é dado então, por:

( x 0 ˙ ) c = - ω n x 0

Resposta

( x 0 ˙ ) c = - ω n x 0

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