39. Um aperfeiçoamento posterior do projeto para a plataforma de pesagem do problema 8.14 é apresentado aqui, onde dois amortecedores viscosos foram adicionados para limitar a razão de sucessivas amplitudes positivas de vibração vertical para 4 , na condição descarregada. Determine o coeficiente de amortecimento viscoso c necessário para cada um dos amortecedores.

Passo 1

Primeiramente, dado que temos três molas em série, cada uma com constante elástica k ; o que temos que fazer é determinar a frequência angular natural do nosso sistema, que é dada pela seguinte relação abaixo:

ω n = 3 k m

E substituindo os valores numéricos pertencentes a cada variável, chegamos à:

ω n = 3 ⋅ 474 ⋅ 10 3   N / m 4000   k g

ω n ≅ 18,85   r a d / s

Passo 2

Depois vamos atentar ao fato de que a questão nos informa que a razão entre as amplitudes sucessivas de vibração vertical, é igual a 4 . Ora bolas! Falou em “amplitudes sucessivas”, é sinônimo de decremento logarítmico δ , o qual tem a seguinte fórmula:

δ = ln ⁡ x 1 x 2  

Só que:

x 1 x 2 = 4

O que já nos dá o valor do decremento logarítmico como:

δ = ln ⁡ 4

Passo 3

Agora, vamos tratar de obter o fator de amortecimento ξ , que é dado em função do descremento logarítmico δ como:

ξ = δ ( 2 π ) 2 + δ 2

E substituindo o valor que encontramos para o decremento logarítmico, alcançamos nosso fator de amortecimento:

ξ = ln ⁡ 4 ( 2 π ) 2 + ( ln ⁡ 4 ) 2

ξ ≅ 0,215

Passo 4

Pra finalizar, basta lembrar que o fator de amortecimento ξ está relacionado com a frequência natural ω n e o coeficiente de amortecimento viscoso c pela seguinte fórmula:

c = 2 m ω n ξ

E como já temos os valores que precisamos:

c ≅ 2 4000   k g ( 18,85   r a d / s ) ( 0,215 )

c ≅ 16,24 ⋅ 10 3   N ⋅ s m

Resposta

c ≅ 16,24 ⋅ 10 3   N ⋅ s m

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