Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 13.Exercícios e Problemas - Ex. 16
13.16P Um oscilador massa-mola forçado tem seu movimento regido pela equação:
Sendo , , calcule a expressão para .
Passo 1
Show de bolinhas galera, se a gente passar os valores para as unidades do sistema internacional, teremos:
Logo, descobrimos a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
E como queremos encontrar a uma solução , devemos lembrar das aulas de cálculo e modelarmos essa solução.
Passo 2
Belezoca, o primeiro passo pra gente modelar essa EDO, é a gente encontrar as raízes da equação, saca só, trocamos por , tal que:
E resolvendo essa equação do segundo grau, temos que:
Isso quer dizer que nossa EDO possui raízes complexas do tipo:
E quando isso acontece, a solução dessa equação diferencial é modelada pela relação:
Onde e são os componentes da raiz complexa , tal que:
Sendo assim, nossa solução terá o formato:
Passo 3
Então agora a gente precisa é encontrar essas tais constates e da nossa solução, MAAAASSSSS o enunciado com toda caridade do mundo nos contemplou com duas informações cruciais. A primeira é que , logo:
Logo:
Agora a segunda informação maliciosa é que , ou seja, a velocidade no tempo é nula. E como temos a equação da posição, pra encontrarmos a velocidade, é só a gente derivar a nossa posição, saca só:
E aplicando a regra do produto, mais a regra da cadeia, obtemos que:
Logo em , temos:
Dessa maneira, nossa solução pode ser expressa como:
E essa resposta já está certa, MAAAASSSSSS, podemos fazer uma leve aproximação. Saca só, o nosso é MUUUUITOOO menor que nosso , e ambos estão multiplicando funções trigonométricas e que variam entre e . Sendo assim, o valor de não vai interferir em quase nada do valor da expressão, devido a grandexa de , e dessa maneira podemos aproximar para sem grandes percas. Logo a expressão pode ser dada como:
Ou também em centímetros: