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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 110

4.110. Uma viga de 3 m é mantida por uma rótula em A e pelos cabos CD e CE. Sabendo que a linha de ação da força de 5 kN forma um ângulo de ϕ = 30 ° com a vertical do plano xy, determine (a) a tração nos cabos CD e CE, (b) a reação em A.

Passo 1

Vamos começar desenhando a situação

Aquelas forças ali perto do A são A x ,   A y   e   A z

Agora nós temos 5 incógnitas para descobrir

A x   ,   A y   ,   A Z   ,   T C D   e   T C E

Vamos já aproveitar e decompor aquela força no ponto B, provavelmente vamos precisar. Já que ϕ = 30 ° então

B → = 5 ⋅ - cos ⁡ 30 °   i ^ + sin ⁡ 30 °   k ^

B → = - 4,33   j ^ + 2,5   k ^

Passo 2

A primeira coisa que vamos fazer é passar as tensões para notação vetorial, vamos precisar disso daqui a pouco, então é só multiplicar a tenção por seu vetor unitário.

T C D = T C D ⋅ C D → C D

Olha só

C D → = - 3   i ^ + 1,5 j ^ + 1,2   k ^  

E agora é só calcular seu módulo

C D → = C D = - 3 2 + 1,5 2 + 1,2 2 = 3,562

Então

T C D = T C D 3,562 - 3   i ^ + 1,5 j ^ + 1,2   k ^

E agora vamos usar o mesmo raciocínio para T C E

C E → = - 3 i ^ + 1,5 j ^ - 1,2 k ^

E seu módulo

C E → = C E = - 3 2 + 1,5 2 + - 1,2 2 = 3,562

Então

T C E = T C E 3,562 - 3   i ^ + 1,5 j ^ - 1,2   k ^

Passo 3

Agora vamos usar o momento no eixo A C -

∑ M A C = 0

r A C → × T C D → + r C A → × T C E → + r B A → × B → = 0

Vamos fazer isso parte por parte.

Começando por

r A C → × T C D →

r A C → = 3   i ^

Então

i ^ j ^ k ^ 3 0 0 - 3 1,5 1,2 ⋅ T C D 3,562

Por Laplace

r A C → × T C D → = T C D 3,562 - 3,6   j ^ + 4,5   k ^

Agora

r A C → × T C E →

r A C → = 3   i ^

Então

i ^ j ^ k ^ 3 0 0 - 3 1,5 - 1,2 ⋅ T C E 3,562

Por Laplace

r A C → × T C E → = T C E 3,562 3,6   j ^ + 4,5   k ^

E finalmente

r B A → × B →

r B A → = 2   i ^

Então

i ^ j ^ k ^ 2 0 0 0 - 4,33 2,5

Por Laplace

r B A → × B → = - 5   j ^ - 8,66   k ^

Agora é só somar tudo

T C D 3,562 - 3,6   j ^ + 4,5   k ^ + T C E 3,562 3,6   j ^ + 4,5   k ^ - 5   j ^ - 8,66   k ^ = 0

Passo 4

Como tudo é igual à 0, podemos separar as componentes e igualar à 0

j ^ : T C D 3,562 - 3,6 + T C E 3,562 3,6 - 5 = 0

j :   - 3,6 T C D + 3,6 T C E - 17,810 = 0

k : T C D 3,562 4,5 + T C E 3,562 4,5 - 8,66 = 0

k : 4,5 T C D + 4,5 T C E = 30,846

Agora a gente faz

k + 1,25   j

E aí ficamos com

9 T C E - 53,11 = 0

Logo

T C E = 5,9   k N

Agora substituindo em k:

4,5 T C D + 4,5 ⋅ 5,9 = 30,846

Logo

T C D = 0,954   k N

Passo 5

Ainda faltam 3 incógnitas, vamos usar a equação de equilíbrio para acha-las

∑ F = 0

A + T C D + T C E - 4,33 j ^ + 2,5 k ^ = 0

Agora separando por eixo

i ^ : A x + 0,954 3,562 - 3 + 5,9 3,562 - 3 = 0

Daqui a gente já tira

A x = 5,77   k N

Agora j

j ^ : A y + 0,954 3,562 1,5 + 5,9 3,562 1,5 - 4,33 = 0

Logo

A y = 1,443   k N

Agora finalmente

k ^ : A z + 0,954 3,562 1,2 + 5,901 3,562 - 1,2 + 2,5 = 0

Logo

A z = - 0,833   k N

Logo

A = 5,77 + 1,433 - 0,833 k N

Resposta

(a)

T C D = 0,954   k N

T C E = 5,9   k N

(b)

A = 5,77 + 1,433 - 0,833 k N

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