46. Desenvolva a equação do movimento em termos da variável x para o sistema apresentado. Determine uma expressão para o fator de amortecimento ζ em termos das propriedades conhecidas do sistema. Despreze a massa da barra curva A B e assuma pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio mostrada.

A equação diferencial de movimento do sistema é: x ¨ + b 2 a 2 c m x ˙ + k m x = 0 E o fator de amortecimento ζ será: ζ = 1 2 b 2 a 2 c k m

Enunciado

Bom, primeiro a gente vai montar um diagrama de forças para o sistema:

Aqui, teremos a seguinte relação:

E se derivarmos em relação ao tempo uma vez:

E temos também que a força é a força que atua no amortecedor, então:

Calcularemos o somatório de momentos em relação ao ponto :

Substituindo :

Agora, faremos o somatório de forças no eixo para cada massa:

Onde é a aceleração

Aqui, é a constante da mola. Substituindo :

Rearranjando a equação:

Agora, vamos calcular o fator de amortecimento Pela equação:

Onde é a constante do amortecedor e é a frequência natural do sistema.

Mas não temos a frequência , não é? Então, devemos usar a relação:

Porém, como sabemos a equação genérica para um movimento harmônico amortecido:

Então:

A equação diferencial de movimento do sistema é:

E o fator de amortecimento será: