Enunciado

30. O corpo de 3,6   k g do problema 8.28 é liberado a partir do repouso a uma distância x 0 à direita da posição de equilíbrio. Determine o deslocamento x como uma função do tempo t , onde t = 0 é o instante de equilíbrio.

Passo 1

Temos a constante da mola k , igual a 525   N / m e a massa m do corpo que está oscilando. O que isso quer dizer?

Ora bolas! Quer dizer que já podemos determinar a frequência angular natural ω n do nosso sistema, a qual é dada pela relação abaixo:

ω n = k m

Substituindo os valores numéricos adequados, chegamos ao seguinte valor:

ω n = 525   N / m 3,6   k g

ω n ≅ 12,08   r a d / s

Passo 2

E para nossa alegria o fator de amortecimento está relacionado ao coeficiente de amortecimento viscoso c pela seguinte fórmula:

ξ = c 2 m ω n

E conhecendo os valores das nossas variáveis, alcançamos o seguinte resultado para o fator de amortecimento:

ξ = 40   N ⋅ s m 2 ( 3,6   k g ) ( 12,08   r a d / s )

ξ ≅ 0,46

Obtido o valor do fator de amortecimento ξ , o que temos que fazer agora, é determinar a frequência angular ω d do nosso sistema amortecido, que tem a seguinte cara:

ω d = ω n ⋅ 1 - ξ 2

Substituindo os valores numéricos adequados, obtemos ω d como:

ω d ≅ ( 12,08   r a d / s ) ⋅ 1 - 0,46 2

ω d ≅ 10,73   r a d / s

Passo 3

Obtida nossa frequência angular real ω d do oscilador amortecido, vamos agora definir a equação de posição do nosso sistema, a qual é dada por:

x = ( A 3 cos ⁡ ω d t + A 4 sen ⁡ ω d t ) e - ξ ω n t

Só que sabemos o valor de ω d , o que nos leva à:

x = ( A 3 cos ⁡ 10,73 t + A 4 sen ⁡ 10,73 t ) e - 5,56 t

O valor de A 3 nos já temos, que é a posição inicial x 0 que o corpo é liberado à direita da posição de equilíbrio. Vamos então derivar x para ver se podemos arranjar alguma coisa com a expressão da velocidade que dela advém:

x ˙ = [ - 5,56 ( A 3 cos ⁡ 10,73 t + A 4 sen ⁡ 10,73 t ) + 10,73 ( - A 3 sen ⁡ 10,73 t + A 4 cos ⁡ 10,73 t ) ] e - 5,5 t

Só que quando o corpo é liberado, a velocidade é nula. Logo, x ˙ vale zero:

0 = [ - 5,56 ( A 3 cos ⁡ 10,73 t + A 4 sen ⁡ 10,73 t ) + 10,73 ( - A 3 sen ⁡ 10,73 t + A 4 cos ⁡ 10,73 t ) ] e - 5,5 t

0 = - 5,56 A 3 cos ⁡ 10,73 t - 10,73 A 3 sen ⁡ 10,73 t + 10,73 A 4 cos ⁡ 10,73 t - 5,56 A 4 sen ⁡ 10,73 t

0 = - 5,56 A 3 + 10,73 A 4

10,73 A 4 = 5,56 A 3

A 4 = 5,56 A 3 10,73

A 4 ≅ 0,52 A 3

Só que A 3 = x 0 , ou seja:

A 4 ≅ 0,52 x 0

Pronto! Só nos resta agora substituir os valores que obtivemos de A 3 e A 4 , na expressão pdo deslocamento x :

x = ( x 0 ⋅ cos ⁡ 10,73 t + 0,52 x 0 ⋅ sen ⁡ 10,73 t ) e - 5,56 t

Resposta

x = ( x 0 ⋅ cos ⁡ 10,73 t + 0,52 x 0 ⋅ sen ⁡ 10,73 t ) e - 5,56 t

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