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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 70

Sabendo que as barras possuem o mesmo comprimento l e o peso da engrenagem em AB é de 13,5N e o da engrenagem da barra CD é 9N, determine as posições de equilíbrio do sistema e determine em cada caso a estabilidade do equilíbrio:

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de estática. Sabemos que para encontrar a posição de equilíbrio, devemos encontrar a expressão da energia potencial e igualar sua derivada a 0. Logo, sabemos que:

V A B = m   g   h = 13,5   × l cos ⁡ 2 θ = 13,5 l c o s ( 2 θ )

V C D = m   g   h = 9   × l cos ⁡ 2 θ = 9 l c o s ( 2 θ )

Logo, a energia potencial total será:

V = 9 + 13,5 l c o s 2 θ = 22,5 l c o s 2 θ

Vamos agora derivar a expressão:

V ' = 22,5 l × - 2 s e n 2 θ = - 45 l s e n 2 θ

Igualando a 0, teremos:

- 45 l s e n 2 θ = 0

θ = π   ;   θ = 0

Portanto, as posições de equilíbrio são para estes 2 valores de θ .

Passo 2

Já para determinar a estabilidade das barras, precisamos estudar o sinal da segunda derivada. Logo:

V ' ' = - 90 l c o s 2 θ

Já temos as situações de equilíbrio calculadas no passo 1, logo, vamos substituir para que possamos determinar a estabilidade da seguinte maneira:

E s t á v e l → V ' ' > 0

I n s t á v e l → V ' ' < 0

N e u t r o → V ' ' = 0

Portanto:

θ = π → V ' ' = 90 l → E s t á v e l

θ = 0 → V ' ' = - 90 l → I n s t á v e l

Resposta

θ = π → E s t á v e l

  θ = 0 → I n s t á v e l

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