49. Um sistema massa-mola com amortecimento viscoso é excitado por uma força harmônica de amplitude constante F 0 , mas de frequência variável ω . Se a amplitude do movimento em regime permanente decresce por um fator de 8 quando a razão de frequências ω / ω n é variada de 1   para 2 , determine o fator de amortecimento ξ do sistema.

Passo 1

Bem! Como a própria questão nos diz, a amplitude do movimento em regime permanente decresce por um fator de 8 quando a razão de frequências ω / ω n é variada de 1   para 2 . Logo, usando a relação adimensional M , que é chamada de razão de amplitudes, chegamos que:

M ω ω n = 1 = 8 ⋅ M ω ω n = 2

E esse nosso fator adimensional M , que na verdade é dado em função da amplitude X da solução do regime permanente e da força harmônica F 0 , é descrito pela seguinte fórmula abaixo:

M = X k F 0

Só que essa nossa relaçãozinha, na verdade pode ser escrita de outro jeito, através dessa aberração aí embaixo:

M = 1 1 - ω ω n 2 2 + 2 ξ ω ω n 2

Passo 2

E agora, vamos nos lembrar lá daquela razão que obtivemos bem no começo do P a s s o   1 :

M ω ω n = 1 = 8 ⋅ M ω ω n = 2

Porque o que temos que fazer agora, é substituir aquela última expressão grandona do M nessa nossa razão:

M ω ω n = 1 = 8 ⋅ M ω ω n = 2

1 1 - 1 2 2 + 2 ξ ⋅ 1 2 = 8 ⋅ 1 1 - 2 2 2 + 2 ξ ⋅ 2 2

1 4 ξ 2 = 8 9 + 16 ξ 2

9 + 16 ξ 2 = 64 ⋅ 4 ξ 2

9 + 16 ξ 2 = 256 ξ 2

240 ξ 2 = 9

ξ = 9 240

ξ ≅ 0,1936

Resposta

ξ ≅ 0,1936

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