5.54. A barra uniforme AB possui peso de 75   N e a mola está descarregada quando θ = 0 ° . Se θ = 30 ° , determine a rigidez k da mola.

Passo 1

Beleza, se θ = 30 ° podemos dividir essa figura em dois triângulos

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, por isso podemos determinar aquele ângulo como 60°.

Usando trigonometria podemos determinar l

Sabemos que BC é

B C = 0,9 ⋅ tan ⁡ 30 ° = 0,52   m

Sabemos também que DA é 1,8   m e que

C A = 0,9 cos ⁡ 30 ° = 1,04   m

Então

D C = D A - C A = 1,8 - 1,04 = 0,76   m

E aí finalmente podemos determinar l usando a lei dos cossenos

l = 0,52 2 + 0,76 2 - 2 ⋅ 0,52 ⋅ 0,76 ⋅ cos ⁡ 120 ° = 1,11   m

Passo 2

Agora podemos usar a lei dos senos para determinar o ângulo α

sin ⁡ α 0,76 = sin ⁡ 120 ° 1,11

Então

α = s i n - 1 0,76 1,11 ⋅ sin ⁡ 120 ° = 36,21 °

Passo 3

Finalmente podemos usar as equações de equilíbrio para obter a força da mola

M A = 0

M A = 75 ⋅ cos ⁡ 30 ° ⋅ 0,45 - F k ⋅ cos ⁡ 36,21 ⋅ 0,9 = 0

Vamos isolar F k  

75 ⋅ cos ⁡ 30 ° ⋅ 0,45 cos ⁡ 36,21 ⋅ 0,9   = F k

Fazendo todas as contas

F k = 40,25

Passo 4

Mas não queremos F k , queremos k

Vamos fazer então

F k = k ⋅ x = 40,25

x é o tamanho da mola menos o tamanho da mola quando está relaxada. Sabemos que o tamanho da mola é 1,11   m e quando ela está relaxada, que é quando θ = 0 temos

l ' = 1,8 - 0,9 = 0,9

Então

x = 1,11 - 0,9 = 0,21   m

Agora temos tudo para determinar k

k = 40,25 0,21 = 191,67 N m

Resposta

k = 191,67 N m

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