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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 29

Se  a  função de potencial de um  sistema conservativo com um grau de liberdade é  V = ( 12 sin ⁡ 2 θ + 15 cos ⁡ θ ) J , onde  0 ° < θ < 180 ° , determine as posições de equilíbrio e investigue a estabilidade em cada  posição.

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo beleza? Vamos fazer mais uma questão de Estática.

Este problema nos pede para determinarmos as posições de equilíbrio e que a gente investigue a estabilidade em cada posição. Temos a seguinte função de potencial:

V = 12 sin ⁡ 2 θ + 15 cos ⁡ θ J

Sabendo que a posição de equilíbrio é:

d V d θ = 0

Temos:

24 - cos ⁡ 2 θ - 15 sin ⁡ θ = 0

Portanto:

24 1 - 2 sin 2 ⁡ θ - 15 sin ⁡ θ = 0 48 sin 2 ⁡ θ + 15 sin ⁡ θ - 24 = 0

Resolvendo esta equação para um ângulo θ no intervalo 0 ° < θ < 180 ° , temos:

θ 1 = 34,6 ° θ 2 = 145 °  

Passo 2

Para determinarmos a estabilidade, temos que obter a segunda derivada de V , e substituirmos em cada ângulo. Fica assim:

d 2 V d θ 2 = - 48 sin ⁡ 2 θ - 15 cos ⁡ θ

Logo, para θ 1 = 34,6 ° , temos:

d 2 V d θ 2 = - 57,2 < 0 → I n s t á v e l

E para θ 2 = 145 ° , temos:

d 2 V d θ 2 = 57,2 > 0 → E s t á v e l

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

θ 1 = 34,6 ° θ 2 = 145 °

d 2 V d θ 2 = - 57,2 < 0 → I n s t á v e l

d 2 V d θ 2 = 57,2 > 0 → E s t á v e l

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