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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 8

8- Determine as coordenadas do centroide da área sombreada.

Passo 1

Se desenharmos uma linha vertical dentro dessa região saberemos que o comprimento dela será:

L = y - 0 = x k

E se como o comprimento dessa linha vale d x , logo sua área será de:

d A = x k d x

Onde o valor de k valerá no ponto ( b , a ) igual a:

b = k a 2 → k = b a 2

Logo nosso elemento de área será de:

d A = a b   x

Como x varia de 0 para b logo nossa área total valerá:

A = ∫ 0 b a b   x   d x = a b 2 3 x 3 2 0 b = 2 a   b 3 2 3 b = 2 a b 3

Passo 2

Como a nossa análise foi na linha vertical logo nosso y médio será a média aritmética das duas funções:

y m = a 2 b   x

E o x médio o próprio valor de x .

Logo:

∫ x m   d A = ∫ 0 b x a b x 1 2 d x = ∫ 0 b a b x 3 2 d x = a b 2 5 x 5 2 0 b = 2 a 5 b 1 2 b 5 2 = 2 a b 2 5  

E :

∫ y m d A = ∫ 0 b 1 2 a b x 2 d x = 1 2 ∫ 0 b a 2 b x     d x = a 2 2 b x 2 2 0 b = a 2 b 2 4 b = 1 4 a 2 b

Passo 3

Encontrando o centroide temos:

x - = ∫ x m d A ∫ d A = 2 a b 2 5 2 a b 3 = 3 b 5

y - = ∫ y m d A ∫ d A = a 2 b 4 2 a b 3 = 3 a 8

Resposta

x - , y - = 3 b 5   , 3 a 8

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