Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 91
9.91 Determine a área da superfície e o volume do sólido formado girando-se a área sombreada em torno do eixo .
Passo 1
Para gerarmos essa superfície devemos fazer a revolução de 5 segmentos de reta:
A fórmula para determinar a área superficial é:
Onde é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso
é a distância perpendicular do eixo de revolução, nesse caso o eixo , ao centroide da curva de geração.
O centroide de uma segmento de reta fica sempre no seu centro, então é fica fácil de calcularmos:
E é o comprimento da curva de geração, nós já sabemos o tamanho de:
Para as retas amarela e laranja podemos usar pitagoras:
Passo 2
Agora só multiplicar aplicar na fórmula:
Para transformar milimetro em metro devemos multiplicar o milímetro por , então para transformar milímetro ao quadrado em metro ao quadrado, precisamos multiplicar o milímetro ao cubo por
Passo 3
E para calcular o volume, vamos separar o sólido em um triângulo e um retângulo, para fazer a revolução deles:
A fórmula para determinar o volume é:
Onde é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso
é a distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide da área de geração. O centroide de um retângulo fica bem no meio dele, então
E o centroide de um triângulo é tabelado, ele vai ficar:
E é a área de geração, ou seja a área de cada formato:
e
Passo 4
Então é só aplicar na formula e obteremos o volume:
Para transformar milimetro em metro devemos multiplicar o milímetro por , então para transformar milímetro ao cubo em metro ao cubo precisamos multiplicar o milímetro ao cubo por