Um arame homogêneo é dobrado na forma mostrada na forma a seguir. Determine por integração direta a coordenada x de seu centroide.

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide por integração. Para isso, Sabemos que:

x = r cos ⁡ θ  

Agora, precisamos determinar o termo d θ , que nada mais é do que a área da nossa figura que está variando:

d L = r d θ

Para a área, vamos integrar o termo d L . Fica assim:

  L = ∫ d L = ∫ π / 4 3 π / 4   r d θ

= 3 2 π r

Passo 2

Agora, para encontrarmos a posição x - do centroides, devemos utilizar a seguinte fórmula:

x - = ∫ x   d L ∫ d L

Como já temos a integral de d L , vamos calcular a integral do numerador:

∫ x   d L = ∫ π / 4 3 π / 4 r ² cos ⁡ θ d θ = r 2 2

Passo 3

Por fim, basta substituirmos o numerador e o denomidador, ficaremos com:

x - = 2 2 3 π

Vale ressaltar que o nosso foco não é nas operações matemáticas.

Resposta

x - = 2 2 3 π

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