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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 144

O avião a jato está se deslocando com uma velocidade escalar de 120   m / s que está diminuindo a 40   m / s 2 quando ele chega no ponto A. Determine a intensidade da sua aceleração quando ele está nesse ponto. Especifique também a direção do voo, medida a partir do eixo x .

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração e o ângulo que faz com o eixo x . Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

Obtido a função para o raio da curvatura, basta substituir o valor de x = 80 que obtemos o raio. Depois disto, basta utilizar as equações da cinemática para determinarmos a aceleração. Para determinar a intensidade, basta lembrar que:

θ = tan - 1 ⁡ d y d x

Passo 2

Antes de calcularmos a componente normal, precisamos determinar o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

y ' = d y d x = 15 x 80 ⋅ 1 80 = 15 x

y ' ' = d 2 y d x 2 = - 15 x 2

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + 15 x 2 3 / 2 15 x 2

Quando x = 80 , temos:

ρ = 449,3   m

Passo 3

Agora, para calcularmos as componentes da aceleração, podemos substituir os valores diretamente nas suas equações. Como a velocidade é constante, o termo tangencial já foi dado implicitamente e é igual a a t = - 40   m / s 2 . Calcularemos então a componente normal. Sendo assim, temos:

a n = v 2 ρ = 120 2 449,3 = 32   m / s 2

Portanto, calculando a intensidade da aceleração, temos:

a = a n 2 + a t 2

a = 32 2 + - 40 2

a = 51,3   m / s 2

Passo 4

Para determinarmos o ângulo que o avião faz com o eixo x basta calcularmos

θ = tan - 1 ⁡ d y d x

Quando x = 80 . Portanto,

θ = tan - 1 ⁡ 15 x

θ = tan - 1 ⁡ 15 80

θ = 10,6 °

Resposta

a = 51,3   m / s 2

θ = 10,6 °

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