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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 174

O avião no parque de diversões move-se ao longo de uma trajetória definida pelas equações r = 4   m , θ = 0,2 t   r a d e z = 0,5 cos ⁡ θ m , onde t é dado em segundos. Determine as componentes cilíndricas da velocidade e aceleração do avião quando t = 6   s .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Quando o enunciado pede as componentes cilíndricas da velocidade e aceleração ele quer r ˙ ,   r ¨ ,     θ ˙ ,   θ ¨ ,   z ˙   e   z ¨ .

Todas essas informações descobrimos derivando as equações fornecidas no enunciado:

r ˙ = d r d t

r ¨ = d r ˙ d t

θ ˙ = d θ d t

θ ¨ = d θ ˙ d t

z ˙ = d z d t

z ¨ = d z ˙ d t

Passo 2

Vamos às analises:

Como r = 4   m é constante, sabemos que a derivada de uma constante é zero, portanto:

r ˙ = d r d t

r ˙ = 0

E sabemos que a derivada de zero, també é zero:

r ¨ = d r ˙ d t

r ¨ = 0

Passo 3

Temos que θ = 0,2 t . Aplicando t = 6   s , temos:

θ = 0,2 6

θ = 1,2   r a d

Temos também que:

θ ˙ = d θ d t

θ ˙ = d d t ( 0,2 t )

θ ˙ = 0,2   r a d / s 2

Logo:

θ ¨ = d θ ˙ d t

θ ¨ = 0   r a d / s 2

Passo 4

Analisando z = 0,5 cos ⁡ θ e aplicando θ = 1,2   r a d , temos:

z = 0,5 cos ⁡ ( 1,2 )

z = 0,1812   m

Então:

z ˙ = d z d t

z ˙ = d d t ( 0,5 cos ⁡ θ )

z ˙ = - 0,5 sin ⁡ θ θ ˙

Substituindo os valores, temos:

z ˙ = - 0,5 sin ⁡ 1,2 0,2

z ˙ = - 0,0932   m / s

Temos também que:

z ¨ = d z ˙ d t

z ¨ = d d t ( - 0,5 sin ⁡ θ θ ˙ )

Note que agora temos que aplicar a regra do produto, pois estamos derivando uma multiplicação entre sin ⁡ θ e θ ˙ .

z ¨ = - 0,5 sin ⁡ θ d θ ˙ d t + - 0,5 cos ⁡ θ θ ˙ d θ d t

z ¨ = - 0,5 sin ⁡ θ θ ¨ - 0,5 cos ⁡ θ θ ˙ 2

Substituindo os valores, temos:

z ¨ = - 0,5 sin ⁡ 1,2 0 - 0,5 cos ⁡ 1,2 0,2 2

z ¨ = - 0,00725   m / s 2

Resposta

r ˙ = 0   m / s

r ¨ = 0   m / s 2

θ ˙ = 0,2   r a d / s 2

θ ¨ = 0   r a d / s 2

z ˙ = - 0,0932   m / s

z ¨ = - 0,00725   m / s 2

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