A barra curva de massa m é articulada ao disco que gira em O e se apoia contra um dos pinos liso A e B que estão fixados no disco. Se o disco gira em torno de seu eixo vertical C , determine a força exercida na barra pela articulação em O e a reação A ou B sobre a barra (a) se o disco possui uma velocidade angular cosntante ω e (b) quando o disco parte do repouso com uma aceleração angular no sentido anti-horário α .

Passo 1

(a) Vamos começar considerando o caso em que a velocidade angular é constante e, portanto, a única aceleração que age sobre a barra curva é centrípeta:

∑ M O = m a - d

E então a aceleração do centro de massa será:

a - = r - ω 2

Onde r - é a posição do centro de massa da barra curva, um valor que pode ser verificado em alguma tabela:

r - = 2 2 r π

E a distância d entre o centro de massa e o ponto O pode ser calculada com um pouco de trigonometria:

d = r sen ⁡ 45 ° = r 2

Então:

∑ M A = m 2 2 r π ω 2 r 2 = 2 m r 2 ω 2 π

E a única força que produz momento em relação ao ponto O é a força de contato em A , que deve apontar na direção centrípeta:

∑ M A = A r

Portanto:

A r = 2 m r 2 ω 2 π

A = 2 m r ω 2 π

Como a única aceleração que age sobre a barra é a resultante centrípeta (que deve ser a mesma para todos os pontos da barra), então podemos deduzir que a força no ponto O é a mesma, e só terá uma componente vertical:

O = A = 2 m r ω 2 π

Passo 2

(b) Agora vamos analisar o caso em que o disco parte do repouso com uma aceleração angular α no sentido anti-horário.

Aplicando a segunda lei de Newton em cada direção:

∑ F x = O x = m r - α cos ⁡ 45 °

O x = m 2 2 r π α 1 2 = 2 π m r α

E na direção vertical:

∑ F y = O y - B = m 2 2 r π α 1 2

B = O y - 2 π m r α

Passo 3

E para calcular O y podemos considerar a soma dos momentos em relação ao ponto C , no caso em que o disco se move com aceleração angular α :

∑ M C = I C α

E única força que possui momento em relação a esse ponto é a componente vertical O y da força em O :

O y r = m r 2 α

O y = m r α

Então:

B = O y - 2 π m r α

B = m r α 1 - 2 π

E com isso podemos calcular também o módulo da força em O :

O = O x 2 + O y 2 = 2 π m r α 2 + m r α 2 = m r α 4 π 2 + 1

Resposta

(a) O = A = 2 m r ω 2 π .

(b) O = m r α 4 π 2 + 1 e B = m r α 1 - 2 π

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