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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 88

A barra AB desliza livremente ao longo do chão e no plano inclinado. Deduza por v A a velocidade do ponto A , obtenha uma expressão para (a) velocidade angular da barra, (b) a velocidade da extremidade B .

Passo 1

A moda agora é a questão 88!

Bom! Pra começar, vamos fazer um esboço da barra, representando vetorialmente as velocidades e o centro de rotação...

Passo 2

a) Bom! Inicialmente, a gente quer a velocidade angular da barra!

Pois muito bem! O único dado que a gente tem é a velocidade v A e o comprimento l da barra...

C   é o centro de rotação! Pela figura, temos então, a seguinte fórmula...

v A = A C ω

Passo 3

E como determinar A C , dado que só temos l ?

Ora bolas! Molezinha! É só recorrer à lei dos senos...

A C sen ⁡ 90 ° - β + θ = B C sen ⁡ 90 ° - θ = A B sen ⁡ β

A C sen ⁡ [ 90 ° - ( β - θ ) ] = B C sen ⁡ 90 ° - θ = l sen ⁡ β

Mas podemos fazer algumas alterações aí! Se liga na fórmula do seno da diferença abaixo...

sen ⁡ ( a - b ) = sen ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ b cos ⁡ a

Baseado nisso, podemos reescrever sen ⁡ [ 90 ° - ( β - θ ) ] como...

sen ⁡ [ 90 ° - ( β - θ ) ] = sen ⁡ 90 ° cos ⁡ ( β - θ ) - sen ⁡ ( β - θ ) cos ⁡ 90 °

sen ⁡ [ 90 ° - ( β - θ ) ] = cos ⁡ ( β - θ )

E sen ⁡ 90 ° - θ , obviamente pode ser reescrito como...

sen ⁡ 90 ° - θ = cos ⁡ θ

Chegamos então, à seguinte relação...

A C cos ⁡ ( β - θ ) = B C cos ⁡ θ = l sen ⁡ β

Passo 4

A C então, vai ser dado por...

A C cos ⁡ ( β - θ ) = B C cos ⁡ θ = l sen ⁡ β

A C = l cos ⁡ ( β - θ ) sen ⁡ β

E B C , por sua vez...

B C cos ⁡ θ = l sen ⁡ β

B C = l cos ⁡ θ sen ⁡ β

Passo 5

Pronto! Agora, vamos voltar à formula do P a s s o   2 ...

v A = A C ω

v A = ω l cos ⁡ ( β - θ ) sen ⁡ β

Isolando ω , podemos obter a velocidade angular...

ω = v A l ⋅ sen ⁡ β cos ⁡ ( β - θ )

Passo 6

b) Finalmente, uma vez obtida ω , para encontrar a velocidade em B , basta usar a fórmula abaixo...

v B = B C ω

Onde B C é a distância entre B e o centro de rotação em C !

Substituindo o valor de ω e B C , obtidos anteriormente:

v B = B C ω

v B = l cos ⁡ θ sen ⁡ β v A l ⋅ sen ⁡ β cos ⁡ β - θ

v B = v A cos ⁡ θ cos ⁡ β - θ

Conseguimos obter v B em função de v A !

Feshow!? Hasta la vista guys!

Resposta

a)

ω = v A l ⋅ sen ⁡ β cos ⁡ ( β - θ )

b)

v B = v A cos ⁡ θ cos ⁡ β - θ

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