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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.10 - Ex. 75

A haste esbelta de massa m e comprimento L está montada em um mandril que gira com o eixo da haste desalinhado em relação ao eixo z de rotação pelo ângulo β . Determine o momento fletor M O na base O da haste quando ω é constante. Despreze o momento devido ao peso da haste.

Passo 1

Vamos utilizar para resolver esse problema as equações de momento de fletor e a relação diferencial para encontrarmos o momento de inércia.

Passo 2

Temos que o sistema inteiro gira em torno do eixo z e seu momento fletor será em torno apenas do eixo x uma vez que o ângulo β tende a “entorta-lo” em uma mesma direção. Dessa forma, o momento fletor total será dado por ∑ M x = - I x z ⋅ ω z ˙ + I y z ⋅ ω z 2 , mas como ω z ˙ = 0 por ω ser constante, temos que

∑ M x = M O = I y z ⋅ ω z 2

Para o momento de inércia, temos que d I y z = y ⋅ z ⋅ d m = l ⋅ sin ⁡ β ⋅ l ⋅ cos ⁡ β ⋅ d m . Integrando essa diferencial, temos que

I y z = 1 2 ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ β ⋅ ∫ l 2 ⋅ d m = 1 2 ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ β ⋅ m ⋅ L 2 3

I y z = 1 6 ⋅ m ⋅ L 2 ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ β

Substituindo agora na equação para M O , vamos chegar no valor de

M O = 1 6 ⋅ m ⋅ L 2 ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ β ⋅ ω 2

Resposta

M O = 1 6 ⋅ m ⋅ L 2 ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ β ⋅ ω 2

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