Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 24

A barra A B está fixada aos anéis nas suas extremidades por juntas esféricas. Se o anel A se desloca para cima com uma aceleração a A = 2 k   m / s 2 , determine a aceleração angular da barra A B e a intensidade da aceleração do anel B . Suponha que a aceleração angular da barra é direcionada perpendicular à barra.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede a aceleração angular da barra A B e a intensidade da aceleração do anel B .

Vamos às analises:

v B = - 1,5 2,5 v B i + 2 2,5 v B k

v A = 4 k

ω A B = ω x i + ω y j + ω z k

r B / A = 0,75 i - 1 j - 0,5 k

Temos então que:

v B = v A + ω A B × r B / A

- 1,5 2,5 v B i + 2 2,5 v B k = 4 k + ω x i + ω y j + ω z k × 0,75 i - 1 j - 0,5 k

Para resolver produto vetorial, temos que ter cuidado com quem multiplica quem primeiro. Por exemplo:

i × j ≠ j × i

Aqui estão todos os produtos dos vetores unitários:

Passo 2

Portanto:

- 1,5 2,5 v B i + 2 2,5 v B k = 4 k + ω x i + ω y j + ω z k × 0,75 i - 1 j - 0,5 k

Vamos encontrar cada termo da equação de v B , para melhorar a organização dos cálculos:

ω A B × r B / A = ω x i + ω y j + ω z k × 0,75 i - 1 j - 0,5 k

ω A B × r B / A = i j k ω x ω y ω z 0,75 - 1 - 0,5

ω A B × r B / A = - 0,5 ω y i + 0,75 ω z j - 1 ω x k - - 1 ω z i - 0,5 ω x j + 0,75 ω y k

ω A B × r B / A = - 0,5 ω y + 1 ω z i + 0,75 ω z + 0,5 ω x j + - 1 ω x - 0,75 ω y k

Juntando tudo temos:

- 1,5 2,5 v B i + 2 2,5 v B k = 4 k + - 0,5 ω y + 1 ω z i + 0,75 ω z + 0,5 ω x j + - 1 ω x - 0,75 ω y k

Passo 3

Agora vamos montar um sistema para cada componente:

- 1,5 2,5 v B i = 0 i + - 0,5 ω y + 1 ω z i

0 j = 0,75 ω z + 0,5 ω x j

2 2,5 v B k = 4 k + - 1 ω x - 0,75 ω y k

É possível observar que temos 3 equações e 4 variáveis. Portanto, precisamos de uma quarta equação dada por:

ω A B ⋅ r B / A = 0

ω x i + ω y j + ω z k ⋅ 0,75 i - 1 j - 0,5 k = 0

0,75 ω x - 1 ω y - 0,5 ω z = 0

Passo 4

Relacionando as 4 equações, temos que:

ω x = 1,1684   r a d / s

ω y = 1,2657   r a d / s

ω z = - 0,7789   r a d / s

v B = 2,353   m / s

Logo:

v B = - 1,412 i + 1,8824 k   m / s

Passo 5

A partir do aspecto construtivo, temos que:

a B = - 1,5 2,5 a B i + 2 2,5 a B k

O movimento de A é relativo, portanto:

a B = a A + α A B × r B / A + ω A B × ( ω A B × r B / A )

a A = 2 k

α A B × r B / A = α A B x i + α A B y j + α A B z k × 0,75 i - 1 j - 0,5 k

α A B × r B / A = i j k α A B x α A B y α A B z 0,75 - 1 - 0,5

α A B × r B / A = - 0,5 α A B y i + 0,75 α A B z j - α A B x k - - α A B z i - 0,5 α A B x j + 0,75 α A B y k

α A B × r B / A = - 0,5 α A B y + α A B z i + 0,5 α A B x + 0,75 α A B z j + - 0,75 α A B y - α A B x k

ω A B × r B / A = 1,1684 i + 1,2657 j - 0,7789 k × 0,75 i - 1 j - 0,5 k

ω A B × r B / A = i j k 1,1684 1,2657 - 0,7789 0,75 - 1 - 0,5

ω A B × r B / A = - 0,5 1,2657 i + 0,75 - 0,7789 j - 1,1684 k - - - 0,7789 i - 0,5 1,1684 j + 0,75 1,2657 k

ω A B × r B / A = - 1,41175 i + 2,5 10 - 5 j + - 2,12 k

ω A B × ω A B × r B / A = 1,1684 i + 1,2657 j - 0,7789 k × - 1,412 i + 2,5 10 - 5 j + - 2,12 k  

ω A B × ω A B × r B / A = i j k 1,1684 1,2657 - 0,7789 - 1,412 2,5 10 - 5 - 2,12

ω A B × ω A B × r B / A = - 2,12 1,2657 i - 1,412 - 0,7789 j + 2,5 10 - 5 ( 1,1684 ) k - 2,5 10 - 5 - 0,7789 i - 2,12 1,1684 j - 1,412 ( 1,2657 ) k

ω A B × ω A B × r B / A = - 2,68 i + 3,58 j + 1,79 k

Juntando tudo temos:

- 1,5 2,5 a B i + 2 2,5 a B k = 2 k + - 0,5 α A B y + α A B z i + 0,5 α A B x + 0,75 α A B z j + - 0,75 α A B y - α A B x k + - 2,68 i + 3,58 j + 1,79 k

Passo 6

Agora vamos montar um sistema para cada componente:

- 1,5 2,5 a B i = - 0,5 α A B y + α A B z i + - 2,68 i

0 j = 0,5 α A B x + 0,75 α A B z j + 3,58 j

2 2,5 a B k = 2 k + - 0,75 α A B y - α A B x k + 1,79 k

É possível observar que temos 3 equações e 4 variáveis. Portanto, precisamos de uma quarta equação dada por:

α A B ⋅ r A / B = 0

α A B x i + α A B y j + α A B z k ⋅ 0,75 i - 1 j - 0,5 k = 0

0,75 α A B x - 1 α A B y - 0,5 α A B z = 0

Passo 7

Relacionando as 4 equações, temos que:

α A B x = - 2,7794   r a d / s 2

α A B y = - 0,6285   r a d / s 2

α A B z = - 2,91213   r a d / s 2

a B = 8,8   m / s 2

Logo:

α A B = - 2,7794 i - 0,6285 j - 2,91213 k   r a d / s 2

Resposta

a B = 8,8   m / s 2

α A B = - 2,7794 i - 0,6285 j - 2,91213 k   r a d / s 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O cone rola em um círculo e gira em torno do eixo z a uma taxa constante ω z = 8r a d / s . Determine a velocidade e a aceleração angular do cone se ela rola sem deslizar. Além disso, qual é a velocid
No instante quando θ = 90 ° , o corpo do satélite está girando com uma velocidade angular ω 1 = 15r a d / s e aceleração angular ω ˙ 1 = 3r a d / s 2 . Simultaneamente, os painéis solares giram com um
Se a estrutura gira com uma velocidade angular constante ω p = - 10 kr a d / s e a engrenagem horizontal B gira com uma velocidade angular constante ω B = 5 kr a d / s , determine a velocidade angular
No instante mostrado, o motor gira em torno do eixo z com uma velocidade angular ω 1 = 3m / s e aceleração angular ω ˙ 1 = 1,5r a d / s 2 . Simultaneamente, o eixo O A gira com uma velocidade angular
No instante θ = 30 ° , o corpo do satélite está girando com uma velocidade angular ω 1 = 29r a d / s , e tem uma aceleração angular ω ˙ 1 = 5r a d / s 2 . Simultaneamente, os painéis solares giram com