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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 26

Quando a barra A B está na posição mostrada, o anel A se desloca com uma velocidade v A = 5 i   m / s e aceleração a A = 1 i   m / s 2 . Determine a aceleração do anel B nesse instante. Suponha que a velocidade angular e a aceleração angular de A B são perpendiculares à barra.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede a aceleração do anel B .

Vamos às analises:

v B = 4 5 v B i - 3 5 v B k

v A = 5 i

ω A B = ω x i + ω y j + ω z k

r B / A = - 1 i + 2 j - 2 k

Temos então que:

v B = v A + ω A B × r B / A

4 5 v B i - 3 5 v B k = 5 i + ω x i + ω y j + ω z k × - 1 i + 2 j - 2 k

Para resolver produto vetorial, temos que ter cuidado com quem multiplica quem primeiro. Por exemplo:

i × j ≠ j × i

Aqui estão todos os produtos dos vetores unitários:

Passo 2

Portanto:

4 5 v B i - 3 5 v B k = 5 i + ω x i + ω y j + ω z k × - 1 i + 2 j - 2 k

Vamos encontrar cada termo da equação de v B , para melhorar a organização dos cálculos:

ω A B × r B / A = ω x i + ω y j + ω z k × - 1 i + 2 j - 2 k

ω A B × r B / A = i j k ω x ω y ω z - 1 2 - 2

ω A B × r B / A = - 2 ω y i - 1 ω z j + 2 ω x k - 2 ω z i - 2 ω x j - 1 ω y k

ω A B × r B / A = - 2 ω y - 2 ω z i + - 1 ω z + 2 ω x j + 2 ω x + 1 ω y k

Juntando tudo temos:

4 5 v B i - 3 5 v B k = 5 i + - 2 ω y - 2 ω z i + - 1 ω z + 2 ω x j + 2 ω x + 1 ω y k

Passo 3

Agora vamos montar um sistema para cada componente:

4 5 v B i = 5 i + - 2 ω y - 2 ω z i

0 j = - 1 ω z + 2 ω x j

- 3 5 v B k = 0 k + 2 ω x + 1 ω y k

É possível observar que temos 3 equações e 4 variáveis. Portanto, precisamos de uma quarta equação dada por:

ω A B ⋅ r B / A = 0

ω x i + ω y j + ω z k ⋅ - 1 i + 2 j - 2 k = 0

- 1 ω x + 2 ω y - 2 ω z = 0

Passo 4

Relacionando as 4 equações, temos que:

ω x = 1,667   r a d / s

ω y = 4,167   r a d / s

ω z = 3,333   r a d / s

v B = - 12,5   m / s

Logo:

v B = 4 5 - 12,5 i - 3 5 - 12,5 k

v B = - 10 i + 7,5 k   m / s

Passo 5

A partir do aspecto construtivo, temos que:

a B = 4 5 a B i - 3 5 a B k

O movimento de B é relativo, portanto:

a B = a A + α A B × r B / A + ω A B × ( ω A B × r B / A )

a A = 1 i

α A B × r B / A = α A B x i + α A B y j + α A B z k × - 1 i + 2 j - 2 k

α A B × r B / A = i j k α A B x α A B y α A B z - 1 2 - 2

α A B × r B / A = - 2 α A B y i - 1 α A B z j + 2 α A B x k - 2 α A B z i - 2 α A B x j - 1 α A B y k

α A B × r B / A = - 2 α A B y - 2 α A B z i + 2 α A B x - 1 α A B z j + 1 α A B y + 2 α A B x k

ω A B × r B / A = 1,667 i + 4,167 j + 3,333 k × - 1 i + 2 j - 2 k

ω A B × r B / A = i j k 1,667 4,167 3,333 - 1 2 - 2

ω A B × r B / A = - 2 4,167 i - 1 3,333 j + 2 1,667 k - 2 3,333 i - 2 1,667 j - 1 4,167 k

ω A B × r B / A = - 15 i + 10 - 3 j + 7,5 k

ω A B × ω A B × r B / A = 1,667 i + 4,167 j + 3,333 k × - 15 i + 10 - 3 j + 7,5 k  

ω A B × ω A B × r B / A = i j k 1,667 4,167 3,333 - 15 10 - 3 7,5

ω A B × ω A B × r B / A = 7,5 4,167 i - 15 3,333 j + 10 - 3 1,667 k - 10 - 3 3,333 i + 7,5 1,667 j - 15 4,167 k

ω A B × ω A B × r B / A = 31,25 i + - 62,5 j + 62,5 k

Juntando tudo temos:

4 5 a B i - 3 5 a B k = 1 i + - 2 α A B y - 2 α A B z i + 2 α A B x - 1 α A B z j + 1 α A B y + 2 α A B x k + 31,25 i + - 62,5 j + 62,5 k

Passo 6

Agora vamos montar um sistema para cada componente:

4 5 a B i = 1 i + - 2 α A B y - 2 α A B z i + 31,25 i

0 j = 2 α A B x - 1 α A B z j + - 62,5 j

- 3 5 a B k = 1 α A B y + 2 α A B x k + 62,5 k

É possível observar que temos 3 equações e 4 variáveis. Portanto, precisamos de uma quarta equação dada por:

α A B ⋅ r A / B = 0

α A B x i + α A B y j + α A B z k ⋅ - 1 i + 2 j - 2 k = 0

- 1 α A B x + 2 α A B y - 2 α A B z = 0

Passo 7

Relacionando as 4 equações, temos que:

α A B x = 94,08   r a d / s 2

α A B y = 172,71   r a d / s 2

α A B z = 125,67   r a d / s 2

a B = - 705,62   m / s 2

Logo:

α A B = 94,08 i + 172,71   j + 125,67 k   r a d / s 2

a B = 4 5 a B i - 3 5 a B k

a B = 4 5 - 705,62 i - 3 5 - 705,62 k

a B = - 564,5 i + 423,4 k

Resposta

a B = - 564,5 i + 423,4 k

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