Enunciado

Se a barra semicircular do Prob. 7/81 parte do repouso sob a ação de um torque M o   aplicado através do anel em torno de seu eixo de rotação z, determine o momento fletor inicial M na barra em A.

Passo 1

Nós teremos velocidade angular ( ω ⃑ = ω z k ̂ ) onde ω ⃑ ˙ = ω z ˙ onde inicialmente nós temos

ω ⃑ = ω z k ̂ =0.

A equação 7/23 para essa condição inicial fica

∑ M z = I z z ω z ˙ = M o

∑ M x = - I x z ω z ˙

Passo 2

Só necessitamos calcular I z z pois do item anterior nós teremos I x z = 2 π ( m r 2 ) .

Podemos utilizar a simetria do problema e utilizar o teorema dos eixos paralelos para calcular I z z .

I z z = 1 2 m r 2 + m r 2 = 3 2 m r 2 onde 1 2 m r 2 é a contribuição do centro de massa.

Passo 3

Substituindo em ∑ M z   e     ∑ M x

∑ M z = I z z ω z ˙ = 3 2 m r 2 ω z ˙ = M o

Tiramos então ω z ˙ = 2 3 M o m r 2

Para ∑ M x nós teremos substituindo ω z ˙

∑ M x = - I x z ω z ˙ = - 2 π m r 2 2 3 M o m r 2 = - 4 M o 2 π

Resposta

∑ M x = - 4 M o 2 π

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