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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 92

O disco semicircular de 10 kg está girando a ω = 4   r a d / s no instante θ = 60 ° . Determine a força normal e de atrito que ele exerce sobre o solo em A nesse instante. Suponha que o disco não desliza na medida em que ele rola.

Passo 1

Começaremos o exercício calculando o momento de inércia do disco em relação ao seu centro de massa com o auxílio do diagrama a seguir:

I G = 1 2 m r 2 - m d 2 = 1 2 10 0,4 2 - 10 0,1698 2

I G = 0,5118   k g . m 2

Ainda do esquema apresenta acima, podemos obter o valor de r G / A aplicando a lei dos cossenos:

r G / A 2 = 0,1698 2 + 0,4 2 - 2 0,1698 0,4 c o s 60 °

r G / A = 0,3477   m

E agora, usando a lei dos senos, podemos encontrar o valor de θ :

s e n θ 0,1698 = s e n 60 ° 0,3477 → θ = 25,01 °

Passo 2

Agora aplicando o somatório de momento com relação ao ponto A, ainda com o auxílio da figura do passo 1, temos:

↺ +   ∑ M A = ∑ M k A

10 9,81 0,1698 s e n 60 ° = 0,5118 α + 10 a G x c o s 25,01 ° 0,3477 + 10 a G y s e n 25,01 ° ( 0,3477 )

Essa será nossa equação 1. Agora iremos aplicar o somatório de forças na direção x ainda para a figura do passo 1:

+ ←   ∑ F x = m a G x

F a = 10 a G x

Essa será nossa equação 2. Agora aplicando o somatório de forças na direção y:

+ ↑   ∑ F y = m a G y

N - 10 9,81 = - 10 a G y

Essa será nossa equação 3.

Passo 3

Como sabemos que o disco circular não desliza em A, então a A x = 0 . Sendo assim, aplicando a equação da aceleração do capítulo 16 para o diagrama a seguir:

a G = a A + α × r G / A - ω 2 r G / A

- a G x i - a G y j = 6,4 j + α k × - 0,147 i + 0,3151 j - 4 2 ( - 0,147 i + 0,3151 j )

- a G x i - a G y j = 2,3523 - 0,3151 α i + ( 1,3581 - 0,147 α ) j

Igualando as componentes, nós temos:

a G x = 0,3151 α - 2,3523

a G y = 0,147 α - 1,3581

Essas serão nossas equações 4 e 5, respectivamente. Agora substituindo essas duas últimas equações na equação 1, temos:

10 9,81 0,1698 s e n 60 ° = 0,5118 α + 10 a G x c o s 25,01 ° 0,3477 + 10 a G y s e n 25,01 ° ( 0,3477 )

10 9,81 0,1698 s e n 60 ° = 0,5118 α + 10 ( 0,3151 α - 2,3523 ) c o s 25,01 ° 0,3477 + 10 ( 0,147 α - 1,3581 ) s e n 25,01 ° ( 0,3477 )

Resolvendo para α , temos:

α = 13,8   r a d / s 2

Substituindo esse valor nas equações 4 e 5:

a G x = 0,3151 13,8 - 2,3523 → a G x = 2,01   m / s 2

a G y = 0,147 13,8 - 1,3581 → a G y = 0,678   m / s 2

Agora substituindo esses valores nas equações 2 e 3:

F a = 10 2,01 → F a = 20,1   N

N - 10 9,81 = - 10 0,678 → N = 91,3   N

Resposta

F a = 20,1   N

N = 91,3   N

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