O bloco retangular homogêneo de massa m repousa sobre o plano inclinado que é articulado em torno de um eixo horizontal através de O . Se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano for μ , especifique as condições que determinam se o bloco inclina antes de escorregar ou escorregar antes de inclinar conforme o ângulo θ é gradualmente aumentado.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as condições para que o bloco de massa m apoiado no plano articulado: i tombe antes de escorregar e i i escorregue antes de tombar. Considerando que o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é μ e que o ângulo θ aumenta gradualmente.

Este é um problema mais analítico do que de cálculo de fato. Então vamos começar entendendo o comportamento do bloco à medida de θ aumenta. Sabemos que o momento em que o bloco começa a escorregar ou tombar é quando o seu centro de gravidade G se encontra à esquerda do ponto A , ou seja, quando o peso W do bloco faz um momento no sentido anti-horário em torno de A .

Neste caso, o que vai determinar se o corpo escorrega ou tomba, é o atrito entre o bloco e a superfície. Se a força de atrito F for suficiente para suportar o peso do bloco, ele tombará. Caso contrário, ele deslizará pela superfície. Show de bola! Vamos guardas essas informações por enquanto!

Passo 2

Sabemos ainda que a força de atrito máxima (necessária para suportar o peso do bloco) é dada por:

F m a x = μ N

N = F m a x μ

Vamos então fazer o somatório de forças na direção n (indicada no diagrama de corpo livre), que deve ser nulo para que o corpo esteja em equilíbrio:

∑ F n = 0

N - W cos ⁡ θ

N = W cos ⁡ θ

E pela equação de atrito máximo:

F m a x μ = W cos ⁡ θ

F m a x = μ W cos ⁡ θ

Passo 3

Até aqui tá dando para acompanhar né? Então bora continuar!

Pela mesma condição de equilíbrio do corpo, o somatório de forças na direção m (perpendicar a n no diagrama de corpo livre) também deve ser nulo. Logo:

∑ F m = 0

F - W sen ⁡ θ

F = W sen ⁡ θ

Que é a força de atrito real atuando no sistema.

Passo 4

Como dissemos no Passo 1, para que o bloco tombe, a força de atrito real deve ser menor que a força de atrito máxima. Logo:

F < F m a x

W sen ⁡ θ < μ W cos ⁡ θ

sen ⁡ θ cos ⁡ θ < μ W W

tan ⁡ θ < μ

Temos ainda que esse mesmo ângulo θ pode ser obtido geometricamente por:

tan ⁡ θ = a b

Igualando os resultados, temos que, para o bloco tombar:

a b < μ

a < μ b

E na condição contrária, para o bloco deslizar:

a b > μ

a > μ b

Até que não foi difícil, né? Então partiu pra próxima!

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Resposta

Para o bloco deslizar:

a > μ b

Para o bloco tombar:

a < μ b

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